Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19409 / 14255
↖ ↑ ↗
← N 22.766052°
E 33.233643°		 ← 1 126.41 m → N 22.766052°
E 33.244629°		 →
↑
1 126.52 m
↓
↑
1 126.52 m
↓
N 22.755921°
E 33.233643°		 ← 1 126.49 m →
1 268 966 m²		 N 22.755921°
E 33.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592330932617188 y=0.435043334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592330932617188 × 215)
    floor (0.592330932617188 × 32768)
    floor (19409.5)     		tx = 19409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435043334960938 × 215)
    floor (0.435043334960938 × 32768)
    floor (14255.5)     		ty = 14255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19409 / 14255 ti = "15/19409/14255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19409/14255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19409 ÷ 215
    19409 ÷ 32768     		x = 0.592315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14255 ÷ 215
    14255 ÷ 32768     		y = 0.435028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592315673828125 × 2 - 1) × π
    0.18463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58003649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    0.12994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.408230637164398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58003649} λ = 0.58003649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408230637164398))-π/2
    2×atan(1.50415403498903)-π/2
    2×0.984069441299447-π/2
    1.96813888259889-1.57079632675     		φ = 0.39734256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58003649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.233643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39734256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.766052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19409 KachelY 14255 0.58003649 0.39734256 33.233643 22.766052
    Oben rechts KachelX + 1 19410 KachelY 14255 0.58022823 0.39734256 33.244629 22.766052
    Unten links KachelX 19409 KachelY + 1 14256 0.58003649 0.39716574 33.233643 22.755921
    Unten rechts KachelX + 1 19410 KachelY + 1 14256 0.58022823 0.39716574 33.244629 22.755921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39734256-0.39716574) × R
    0.000176820000000022 × 6371000     		dl = 1126.52022000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39734256-0.39716574) × R
    0.000176820000000022 × 6371000     		dr = 1126.52022000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58003649-0.58022823) × cos(0.39734256) × R
    0.000191739999999996 × 0.922092596405815 × 6371000     		do = 1126.40576138441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58003649-0.58022823) × cos(0.39716574) × R
    0.000191739999999996 × 0.922161005903359 × 6371000     		du = 1126.48932875331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39734256)-sin(0.39716574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922092596405815-0.922161005903359)×R²
    abs(0.58022823-0.58003649)×6.84094975436089e-05×R²
    0.000191739999999996×6.84094975436089e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.84094975436089e-05×40589641000000     		ar = 1268965.93959605m²