Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19408 / 20904
↖ ↑ ↗
← S 44.402392°
E 33.222656°		 ← 872.79 m → S 44.402392°
E 33.233643°		 →
↑
872.76 m
↓
↑
872.76 m
↓
S 44.410241°
E 33.222656°		 ← 872.68 m →
761 690 m²		 S 44.410241°
E 33.233643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592300415039062 y=0.637954711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592300415039062 × 215)
    floor (0.592300415039062 × 32768)
    floor (19408.5)     		tx = 19408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637954711914062 × 215)
    floor (0.637954711914062 × 32768)
    floor (20904.5)     		ty = 20904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19408 / 20904 ti = "15/19408/20904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19408/20904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19408 ÷ 215
    19408 ÷ 32768     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20904 ÷ 215
    20904 ÷ 32768     		y = 0.637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.27587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.866699145130615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866699145130615))-π/2
    2×atan(0.420336732395574)-π/2
    2×0.397914196817139-π/2
    0.795828393634279-1.57079632675     		φ = -0.77496793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77496793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.402392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19408 KachelY 20904 0.57984474 -0.77496793 33.222656 -44.402392
    Oben rechts KachelX + 1 19409 KachelY 20904 0.58003649 -0.77496793 33.233643 -44.402392
    Unten links KachelX 19408 KachelY + 1 20905 0.57984474 -0.77510492 33.222656 -44.410241
    Unten rechts KachelX + 1 19409 KachelY + 1 20905 0.58003649 -0.77510492 33.233643 -44.410241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77496793--0.77510492) × R
    0.000136990000000003 × 6371000     		dl = 872.763290000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77496793--0.77510492) × R
    0.000136990000000003 × 6371000     		dr = 872.763290000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(-0.77496793) × R
    0.000191750000000046 × 0.714443473583078 × 6371000     		do = 872.792189235636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(-0.77510492) × R
    0.000191750000000046 × 0.714347615913194 × 6371000     		du = 872.675085743692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77496793)-sin(-0.77510492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714443473583078-0.714347615913194)×R²
    abs(0.58003649-0.57984474)×9.58576698846247e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58576698846247e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58576698846247e-05×40589641000000     		ar = 761689.881940319m²