Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19408 / 20901
↖ ↑ ↗
← S 44.378840°
E 33.222656°		 ← 873.14 m → S 44.378840°
E 33.233643°		 →
↑
873.08 m
↓
↑
873.08 m
↓
S 44.386691°
E 33.222656°		 ← 873.03 m →
762 275 m²		 S 44.386691°
E 33.233643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592300415039062 y=0.637863159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592300415039062 × 215)
    floor (0.592300415039062 × 32768)
    floor (19408.5)     		tx = 19408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637863159179688 × 215)
    floor (0.637863159179688 × 32768)
    floor (20901.5)     		ty = 20901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19408 / 20901 ti = "15/19408/20901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19408/20901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19408 ÷ 215
    19408 ÷ 32768     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20901 ÷ 215
    20901 ÷ 32768     		y = 0.637847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.27569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866123902335175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866123902335175))-π/2
    2×atan(0.420578597631491)-π/2
    2×0.398119727400764-π/2
    0.796239454801527-1.57079632675     		φ = -0.77455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.378840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19408 KachelY 20901 0.57984474 -0.77455687 33.222656 -44.378840
    Oben rechts KachelX + 1 19409 KachelY 20901 0.58003649 -0.77455687 33.233643 -44.378840
    Unten links KachelX 19408 KachelY + 1 20902 0.57984474 -0.77469391 33.222656 -44.386691
    Unten rechts KachelX + 1 19409 KachelY + 1 20902 0.58003649 -0.77469391 33.233643 -44.386691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77455687--0.77469391) × R
    0.000137040000000033 × 6371000     		dl = 873.081840000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77455687--0.77469391) × R
    0.000137040000000033 × 6371000     		dr = 873.081840000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(-0.77455687) × R
    0.000191750000000046 × 0.714731029086897 × 6371000     		do = 873.143478325655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(-0.77469391) × R
    0.000191750000000046 × 0.714635176678648 × 6371000     		du = 873.026381261531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77455687)-sin(-0.77469391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714731029086897-0.714635176678648)×R²
    abs(0.58003649-0.57984474)×9.5852408248942e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5852408248942e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5852408248942e-05×40589641000000     		ar = 762274.598173672m²