Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19408 / 14320
↖ ↑ ↗
← N 22.105999°
E 33.222656°		 ← 1 131.84 m → N 22.105999°
E 33.233643°		 →
↑
1 131.81 m
↓
↑
1 131.81 m
↓
N 22.095820°
E 33.222656°		 ← 1 131.92 m →
1 281 067 m²		 N 22.095820°
E 33.233643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592300415039062 y=0.437026977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592300415039062 × 215)
    floor (0.592300415039062 × 32768)
    floor (19408.5)     		tx = 19408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437026977539062 × 215)
    floor (0.437026977539062 × 32768)
    floor (14320.5)     		ty = 14320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19408 / 14320 ti = "15/19408/14320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19408/14320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19408 ÷ 215
    19408 ÷ 32768     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14320 ÷ 215
    14320 ÷ 32768     		y = 0.43701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395767043263184))-π/2
    2×atan(1.48552321459891)-π/2
    2×0.978309395140989-π/2
    1.95661879028198-1.57079632675     		φ = 0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19408 KachelY 14320 0.57984474 0.38582246 33.222656 22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 19409 KachelY 14320 0.58003649 0.38582246 33.233643 22.105999
    Unten links KachelX 19408 KachelY + 1 14321 0.57984474 0.38564481 33.222656 22.095820
    Unten rechts KachelX + 1 19409 KachelY + 1 14321 0.58003649 0.38564481 33.233643 22.095820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38582246-0.38564481) × R
    0.000177649999999974 × 6371000     		dl = 1131.80814999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38582246-0.38564481) × R
    0.000177649999999974 × 6371000     		dr = 1131.80814999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(0.38582246) × R
    0.000191750000000046 × 0.926489236878441 × 6371000     		do = 1131.83561647352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(0.38564481) × R
    0.000191750000000046 × 0.92655607573091 × 6371000     		du = 1131.91726943912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38582246)-sin(0.38564481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926489236878441-0.92655607573091)×R²
    abs(0.58003649-0.57984474)×6.68388524684982e-05×R²
    0.000191750000000046×6.68388524684982e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.68388524684982e-05×40589641000000     		ar = 1281066.98629987m²