Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19408 / 14256
↖ ↑ ↗
← N 22.755921°
E 33.222656°		 ← 1 126.55 m → N 22.755921°
E 33.233643°		 →
↑
1 126.58 m
↓
↑
1 126.58 m
↓
N 22.745789°
E 33.222656°		 ← 1 126.63 m →
1 269 198 m²		 N 22.745789°
E 33.233643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592300415039062 y=0.435073852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592300415039062 × 215)
    floor (0.592300415039062 × 32768)
    floor (19408.5)     		tx = 19408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435073852539062 × 215)
    floor (0.435073852539062 × 32768)
    floor (14256.5)     		ty = 14256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19408 / 14256 ti = "15/19408/14256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19408/14256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19408 ÷ 215
    19408 ÷ 32768     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14256 ÷ 215
    14256 ÷ 32768     		y = 0.43505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408038889565918))-π/2
    2×atan(1.50386564471503)-π/2
    2×0.983981033499376-π/2
    1.96796206699875-1.57079632675     		φ = 0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19408 KachelY 14256 0.57984474 0.39716574 33.222656 22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 19409 KachelY 14256 0.58003649 0.39716574 33.233643 22.755921
    Unten links KachelX 19408 KachelY + 1 14257 0.57984474 0.39698891 33.222656 22.745789
    Unten rechts KachelX + 1 19409 KachelY + 1 14257 0.58003649 0.39698891 33.233643 22.745789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39716574-0.39698891) × R
    0.000176830000000017 × 6371000     		dl = 1126.58393000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39716574-0.39698891) × R
    0.000176830000000017 × 6371000     		dr = 1126.58393000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(0.39716574) × R
    0.000191750000000046 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 1126.5480796313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58003649) × cos(0.39698891) × R
    0.000191750000000046 × 0.922229390435682 × 6371000     		du = 1126.63162086007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39716574)-sin(0.39698891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.922229390435682)×R²
    abs(0.58003649-0.57984474)×6.83845323236065e-05×R²
    0.000191750000000046×6.83845323236065e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.83845323236065e-05×40589641000000     		ar = 1269198.02429499m²