Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19407 / 31759
↖ ↑ ↗
← N 67.593522°
W126.697082°		 ← 116.40 m → N 67.593522°
W126.694336°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 67.592475°
W126.697082°		 ← 116.40 m →
13 549 m²		 N 67.592475°
W126.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148067474365234 y=0.242305755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148067474365234 × 217)
    floor (0.148067474365234 × 131072)
    floor (19407.5)     		tx = 19407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242305755615234 × 217)
    floor (0.242305755615234 × 131072)
    floor (31759.5)     		ty = 31759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19407 / 31759 ti = "17/19407/31759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19407/31759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19407 ÷ 217
    19407 ÷ 131072     		x = 0.148063659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31759 ÷ 217
    31759 ÷ 131072     		y = 0.242301940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148063659667969 × 2 - 1) × π
    -0.703872680664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.21128124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242301940917969 × 2 - 1) × π
    0.515396118164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.61916465846664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21128124} λ = -2.21128124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61916465846664))-π/2
    2×atan(5.04887102287159)-π/2
    2×1.37526291848847-π/2
    2.75052583697693-1.57079632675     		φ = 1.17972951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21128124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.697082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17972951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.593522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19407 KachelY 31759 -2.21128124 1.17972951 -126.697082 67.593522
    Oben rechts KachelX + 1 19408 KachelY 31759 -2.21123331 1.17972951 -126.694336 67.593522
    Unten links KachelX 19407 KachelY + 1 31760 -2.21128124 1.17971124 -126.697082 67.592475
    Unten rechts KachelX + 1 19408 KachelY + 1 31760 -2.21123331 1.17971124 -126.694336 67.592475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17972951-1.17971124) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17972951-1.17971124) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21128124--2.21123331) × cos(1.17972951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381174907108976 × 6371000     		do = 116.39634341993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21128124--2.21123331) × cos(1.17971124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381191797714113 × 6371000     		du = 116.401501169402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17972951)-sin(1.17971124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381174907108976-0.381191797714113)×R²
    abs(-2.21123331--2.21128124)×1.68906051368212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68906051368212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68906051368212e-05×40589641000000     		ar = 13548.6215453322m²