Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19406 / 21073
↖ ↑ ↗
← S 45.713851°
E 33.200683°		 ← 853 m → S 45.713851°
E 33.211670°		 →
↑
852.95 m
↓
↑
852.95 m
↓
S 45.721522°
E 33.200683°		 ← 852.88 m →
727 516 m²		 S 45.721522°
E 33.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592239379882812 y=0.643112182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592239379882812 × 215)
    floor (0.592239379882812 × 32768)
    floor (19406.5)     		tx = 19406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643112182617188 × 215)
    floor (0.643112182617188 × 32768)
    floor (21073.5)     		ty = 21073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19406 / 21073 ti = "15/19406/21073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19406/21073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19406 ÷ 215
    19406 ÷ 32768     		x = 0.59222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21073 ÷ 215
    21073 ÷ 32768     		y = 0.643096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59222412109375 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.28619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.899104489273773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57946124} λ = 0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899104489273773))-π/2
    2×atan(0.406933910302656)-π/2
    2×0.386469557156684-π/2
    0.772939114313368-1.57079632675     		φ = -0.79785721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79785721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.713851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19406 KachelY 21073 0.57946124 -0.79785721 33.200683 -45.713851
    Oben rechts KachelX + 1 19407 KachelY 21073 0.57965299 -0.79785721 33.211670 -45.713851
    Unten links KachelX 19406 KachelY + 1 21074 0.57946124 -0.79799109 33.200683 -45.721522
    Unten rechts KachelX + 1 19407 KachelY + 1 21074 0.57965299 -0.79799109 33.211670 -45.721522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79785721--0.79799109) × R
    0.000133880000000031 × 6371000     		dl = 852.949480000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79785721--0.79799109) × R
    0.000133880000000031 × 6371000     		dr = 852.949480000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57946124-0.57965299) × cos(-0.79785721) × R
    0.000191750000000046 × 0.698242252147993 × 6371000     		do = 853.00014123259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57946124-0.57965299) × cos(-0.79799109) × R
    0.000191750000000046 × 0.698146406346505 × 6371000     		du = 852.883052239544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79785721)-sin(-0.79799109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698242252147993-0.698146406346505)×R²
    abs(0.57965299-0.57946124)×9.58458014880259e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58458014880259e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58458014880259e-05×40589641000000     		ar = 727516.09249341m²