Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19405 / 20920
↖ ↑ ↗
← S 44.527843°
E 33.189698°		 ← 870.87 m → S 44.527843°
E 33.200683°		 →
↑
870.85 m
↓
↑
870.85 m
↓
S 44.535675°
E 33.189698°		 ← 870.76 m →
758 351 m²		 S 44.535675°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592208862304688 y=0.638442993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592208862304688 × 215)
    floor (0.592208862304688 × 32768)
    floor (19405.5)     		tx = 19405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638442993164062 × 215)
    floor (0.638442993164062 × 32768)
    floor (20920.5)     		ty = 20920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19405 / 20920 ti = "15/19405/20920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19405/20920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19405 ÷ 215
    19405 ÷ 32768     		x = 0.592193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20920 ÷ 215
    20920 ÷ 32768     		y = 0.638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592193603515625 × 2 - 1) × π
    0.18438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57926950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869767106706299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57926950} λ = 0.57926950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869767106706299))-π/2
    2×atan(0.419049131616543)-π/2
    2×0.396819430584563-π/2
    0.793638861169125-1.57079632675     		φ = -0.77715747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57926950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.189698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77715747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.527843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19405 KachelY 20920 0.57926950 -0.77715747 33.189698 -44.527843
    Oben rechts KachelX + 1 19406 KachelY 20920 0.57946124 -0.77715747 33.200683 -44.527843
    Unten links KachelX 19405 KachelY + 1 20921 0.57926950 -0.77729416 33.189698 -44.535675
    Unten rechts KachelX + 1 19406 KachelY + 1 20921 0.57946124 -0.77729416 33.200683 -44.535675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77715747--0.77729416) × R
    0.000136689999999939 × 6371000     		dl = 870.851989999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77715747--0.77729416) × R
    0.000136689999999939 × 6371000     		dr = 870.851989999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57926950-0.57946124) × cos(-0.77715747) × R
    0.000191739999999996 × 0.712909756087121 × 6371000     		do = 870.873120263374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57926950-0.57946124) × cos(-0.77729416) × R
    0.000191739999999996 × 0.71281389477375 × 6371000     		du = 870.756018427728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77715747)-sin(-0.77729416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712909756087121-0.71281389477375)×R²
    abs(0.57946124-0.57926950)×9.58613133703601e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58613133703601e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58613133703601e-05×40589641000000     		ar = 758350.601815907m²