Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19405 / 20909
↖ ↑ ↗
← S 44.441624°
E 33.189698°		 ← 872.16 m → S 44.441624°
E 33.200683°		 →
↑
872.13 m
↓
↑
872.13 m
↓
S 44.449468°
E 33.189698°		 ← 872.04 m →
760 584 m²		 S 44.449468°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592208862304688 y=0.638107299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592208862304688 × 215)
    floor (0.592208862304688 × 32768)
    floor (19405.5)     		tx = 19405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638107299804688 × 215)
    floor (0.638107299804688 × 32768)
    floor (20909.5)     		ty = 20909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19405 / 20909 ti = "15/19405/20909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19405/20909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19405 ÷ 215
    19405 ÷ 32768     		x = 0.592193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20909 ÷ 215
    20909 ÷ 32768     		y = 0.638092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592193603515625 × 2 - 1) × π
    0.18438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57926950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.27618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.867657883123016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57926950} λ = 0.57926950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867657883123016))-π/2
    2×atan(0.419933932721154)-π/2
    2×0.397571829640821-π/2
    0.795143659281642-1.57079632675     		φ = -0.77565267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57926950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.189698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77565267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.441624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19405 KachelY 20909 0.57926950 -0.77565267 33.189698 -44.441624
    Oben rechts KachelX + 1 19406 KachelY 20909 0.57946124 -0.77565267 33.200683 -44.441624
    Unten links KachelX 19405 KachelY + 1 20910 0.57926950 -0.77578956 33.189698 -44.449468
    Unten rechts KachelX + 1 19406 KachelY + 1 20910 0.57946124 -0.77578956 33.200683 -44.449468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77565267--0.77578956) × R
    0.000136889999999945 × 6371000     		dl = 872.12618999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77565267--0.77578956) × R
    0.000136889999999945 × 6371000     		dr = 872.12618999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57926950-0.57946124) × cos(-0.77565267) × R
    0.000191739999999996 × 0.713964198233595 × 6371000     		do = 872.161200997852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57926950-0.57946124) × cos(-0.77578956) × R
    0.000191739999999996 × 0.713868343602074 × 6371000     		du = 872.04410732459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77565267)-sin(-0.77578956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713964198233595-0.713868343602074)×R²
    abs(0.57946124-0.57926950)×9.58546315213971e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58546315213971e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58546315213971e-05×40589641000000     		ar = 760583.566249926m²