Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19404 / 20892
↖ ↑ ↗
← S 44.308127°
E 33.178711°		 ← 874.20 m → S 44.308127°
E 33.189698°		 →
↑
874.10 m
↓
↑
874.10 m
↓
S 44.315988°
E 33.178711°		 ← 874.08 m →
764 086 m²		 S 44.315988°
E 33.189698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592178344726562 y=0.637588500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592178344726562 × 215)
    floor (0.592178344726562 × 32768)
    floor (19404.5)     		tx = 19404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637588500976562 × 215)
    floor (0.637588500976562 × 32768)
    floor (20892.5)     		ty = 20892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19404 / 20892 ti = "15/19404/20892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19404/20892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19404 ÷ 215
    19404 ÷ 32768     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20892 ÷ 215
    20892 ÷ 32768     		y = 0.6375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864398173948853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864398173948853))-π/2
    2×atan(0.421305028687166)-π/2
    2×0.398736815385277-π/2
    0.797473630770553-1.57079632675     		φ = -0.77332270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77332270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.308127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19404 KachelY 20892 0.57907775 -0.77332270 33.178711 -44.308127
    Oben rechts KachelX + 1 19405 KachelY 20892 0.57926950 -0.77332270 33.189698 -44.308127
    Unten links KachelX 19404 KachelY + 1 20893 0.57907775 -0.77345990 33.178711 -44.315988
    Unten rechts KachelX + 1 19405 KachelY + 1 20893 0.57926950 -0.77345990 33.189698 -44.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77332270--0.77345990) × R
    0.000137199999999948 × 6371000     		dl = 874.101199999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77332270--0.77345990) × R
    0.000137199999999948 × 6371000     		dr = 874.101199999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57926950) × cos(-0.77332270) × R
    0.000191750000000046 × 0.715593662326088 × 6371000     		do = 874.197304949006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57926950) × cos(-0.77345990) × R
    0.000191750000000046 × 0.715497819087246 × 6371000     		du = 874.080219086589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77332270)-sin(-0.77345990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715593662326088-0.715497819087246)×R²
    abs(0.57926950-0.57907775)×9.58432388421526e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58432388421526e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58432388421526e-05×40589641000000     		ar = 764085.742044015m²