Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19403 / 20919
↖ ↑ ↗
← S 44.520010°
E 33.167725°		 ← 871.04 m → S 44.520010°
E 33.178711°		 →
↑
870.98 m
↓
↑
870.98 m
↓
S 44.527843°
E 33.167725°		 ← 870.92 m →
758 603 m²		 S 44.527843°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592147827148438 y=0.638412475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592147827148438 × 215)
    floor (0.592147827148438 × 32768)
    floor (19403.5)     		tx = 19403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638412475585938 × 215)
    floor (0.638412475585938 × 32768)
    floor (20919.5)     		ty = 20919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19403 / 20919 ti = "15/19403/20919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19403/20919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19403 ÷ 215
    19403 ÷ 32768     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20919 ÷ 215
    20919 ÷ 32768     		y = 0.638397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.27679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869575359107819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869575359107819))-π/2
    2×atan(0.419129490985288)-π/2
    2×0.39688778454695-π/2
    0.793775569093899-1.57079632675     		φ = -0.77702076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77702076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.520010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19403 KachelY 20919 0.57888600 -0.77702076 33.167725 -44.520010
    Oben rechts KachelX + 1 19404 KachelY 20919 0.57907775 -0.77702076 33.178711 -44.520010
    Unten links KachelX 19403 KachelY + 1 20920 0.57888600 -0.77715747 33.167725 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 19404 KachelY + 1 20920 0.57907775 -0.77715747 33.178711 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77702076--0.77715747) × R
    0.00013671000000004 × 6371000     		dl = 870.979410000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77702076--0.77715747) × R
    0.00013671000000004 × 6371000     		dr = 870.979410000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(-0.77702076) × R
    0.000191749999999935 × 0.713005618103541 × 6371000     		do = 871.035648545501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(-0.77715747) × R
    0.000191749999999935 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 870.918539743658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77702076)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713005618103541-0.712909756087121)×R²
    abs(0.57907775-0.57888600)×9.58620164197566e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58620164197566e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58620164197566e-05×40589641000000     		ar = 758603.116763738m²