Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19403 / 14522
↖ ↑ ↗
← N 20.035290°
E 33.167725°		 ← 1 147.71 m → N 20.035290°
E 33.178711°		 →
↑
1 147.74 m
↓
↑
1 147.74 m
↓
N 20.024968°
E 33.167725°		 ← 1 147.78 m →
1 317 308 m²		 N 20.024968°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592147827148438 y=0.443191528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592147827148438 × 215)
    floor (0.592147827148438 × 32768)
    floor (19403.5)     		tx = 19403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443191528320312 × 215)
    floor (0.443191528320312 × 32768)
    floor (14522.5)     		ty = 14522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19403 / 14522 ti = "15/19403/14522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19403/14522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19403 ÷ 215
    19403 ÷ 32768     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14522 ÷ 215
    14522 ÷ 32768     		y = 0.44317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    0.1136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.357034028370178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357034028370178))-π/2
    2×atan(1.42908449844283)-π/2
    2×0.960239049419676-π/2
    1.92047809883935-1.57079632675     		φ = 0.34968177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34968177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.035290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19403 KachelY 14522 0.57888600 0.34968177 33.167725 20.035290
    Oben rechts KachelX + 1 19404 KachelY 14522 0.57907775 0.34968177 33.178711 20.035290
    Unten links KachelX 19403 KachelY + 1 14523 0.57888600 0.34950162 33.167725 20.024968
    Unten rechts KachelX + 1 19404 KachelY + 1 14523 0.57907775 0.34950162 33.178711 20.024968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34968177-0.34950162) × R
    0.00018014999999999 × 6371000     		dl = 1147.73564999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34968177-0.34950162) × R
    0.00018014999999999 × 6371000     		dr = 1147.73564999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(0.34968177) × R
    0.000191749999999935 × 0.93948178564951 × 6371000     		do = 1147.70782400914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(0.34950162) × R
    0.000191749999999935 × 0.939543489587657 × 6371000     		du = 1147.78320396186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34968177)-sin(0.34950162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93948178564951-0.939543489587657)×R²
    abs(0.57907775-0.57888600)×6.17039381461959e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17039381461959e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17039381461959e-05×40589641000000     		ar = 1317308.44709146m²