Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19403 / 14291
↖ ↑ ↗
← N 22.400871°
E 33.167725°		 ← 1 129.45 m → N 22.400871°
E 33.178711°		 →
↑
1 129.45 m
↓
↑
1 129.45 m
↓
N 22.390714°
E 33.167725°		 ← 1 129.54 m →
1 275 710 m²		 N 22.390714°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592147827148438 y=0.436141967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592147827148438 × 215)
    floor (0.592147827148438 × 32768)
    floor (19403.5)     		tx = 19403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436141967773438 × 215)
    floor (0.436141967773438 × 32768)
    floor (14291.5)     		ty = 14291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19403 / 14291 ti = "15/19403/14291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19403/14291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19403 ÷ 215
    19403 ÷ 32768     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14291 ÷ 215
    14291 ÷ 32768     		y = 0.436126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436126708984375 × 2 - 1) × π
    0.12774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.40132772361911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40132772361911))-π/2
    2×atan(1.49380674404164)-π/2
    2×0.980882645675794-π/2
    1.96176529135159-1.57079632675     		φ = 0.39096896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39096896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.400871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19403 KachelY 14291 0.57888600 0.39096896 33.167725 22.400871
    Oben rechts KachelX + 1 19404 KachelY 14291 0.57907775 0.39096896 33.178711 22.400871
    Unten links KachelX 19403 KachelY + 1 14292 0.57888600 0.39079168 33.167725 22.390714
    Unten rechts KachelX + 1 19404 KachelY + 1 14292 0.57907775 0.39079168 33.178711 22.390714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39096896-0.39079168) × R
    0.000177280000000002 × 6371000     		dl = 1129.45088000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39096896-0.39079168) × R
    0.000177280000000002 × 6371000     		dr = 1129.45088000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(0.39096896) × R
    0.000191749999999935 × 0.924540238357356 × 6371000     		do = 1129.45464338132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57907775) × cos(0.39079168) × R
    0.000191749999999935 × 0.924607782477568 × 6371000     		du = 1129.53715792968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39096896)-sin(0.39079168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924540238357356-0.924607782477568)×R²
    abs(0.57907775-0.57888600)×6.75441202121485e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75441202121485e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75441202121485e-05×40589641000000     		ar = 1275710.14229313m²