Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19402 / 20900
↖ ↑ ↗
← S 44.370987°
E 33.156738°		 ← 873.26 m → S 44.370987°
E 33.167725°		 →
↑
873.21 m
↓
↑
873.21 m
↓
S 44.378840°
E 33.156738°		 ← 873.14 m →
762 488 m²		 S 44.378840°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592117309570312 y=0.637832641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592117309570312 × 215)
    floor (0.592117309570312 × 32768)
    floor (19402.5)     		tx = 19402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637832641601562 × 215)
    floor (0.637832641601562 × 32768)
    floor (20900.5)     		ty = 20900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19402 / 20900 ti = "15/19402/20900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19402/20900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19402 ÷ 215
    19402 ÷ 32768     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20900 ÷ 215
    20900 ÷ 32768     		y = 0.6378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865932154736694))-π/2
    2×atan(0.42065925029979)-π/2
    2×0.398188255974626-π/2
    0.796376511949253-1.57079632675     		φ = -0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19402 KachelY 20900 0.57869425 -0.77441981 33.156738 -44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 19403 KachelY 20900 0.57888600 -0.77441981 33.167725 -44.370987
    Unten links KachelX 19402 KachelY + 1 20901 0.57869425 -0.77455687 33.156738 -44.378840
    Unten rechts KachelX + 1 19403 KachelY + 1 20901 0.57888600 -0.77455687 33.167725 -44.378840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77441981--0.77455687) × R
    0.000137059999999911 × 6371000     		dl = 873.209259999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77441981--0.77455687) × R
    0.000137059999999911 × 6371000     		dr = 873.209259999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(-0.77441981) × R
    0.000191750000000046 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 873.26057607806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(-0.77455687) × R
    0.000191750000000046 × 0.714731029086897 × 6371000     		du = 873.143478325655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77441981)-sin(-0.77455687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714731029086897)×R²
    abs(0.57888600-0.57869425)×9.58529716568179e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58529716568179e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58529716568179e-05×40589641000000     		ar = 762488.097196551m²