Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19402 / 14525
↖ ↑ ↗
← N 20.004322°
E 33.156738°		 ← 1 147.93 m → N 20.004322°
E 33.167725°		 →
↑
1 147.99 m
↓
↑
1 147.99 m
↓
N 19.993998°
E 33.156738°		 ← 1 148.01 m →
1 317 860 m²		 N 19.993998°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592117309570312 y=0.443283081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592117309570312 × 215)
    floor (0.592117309570312 × 32768)
    floor (19402.5)     		tx = 19402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443283081054688 × 215)
    floor (0.443283081054688 × 32768)
    floor (14525.5)     		ty = 14525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19402 / 14525 ti = "15/19402/14525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19402/14525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19402 ÷ 215
    19402 ÷ 32768     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14525 ÷ 215
    14525 ÷ 32768     		y = 0.443267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    0.11346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.356458785574738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356458785574738))-π/2
    2×atan(1.42826266428077)-π/2
    2×0.959968807740306-π/2
    1.91993761548061-1.57079632675     		φ = 0.34914129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34914129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.004322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19402 KachelY 14525 0.57869425 0.34914129 33.156738 20.004322
    Oben rechts KachelX + 1 19403 KachelY 14525 0.57888600 0.34914129 33.167725 20.004322
    Unten links KachelX 19402 KachelY + 1 14526 0.57869425 0.34896110 33.156738 19.993998
    Unten rechts KachelX + 1 19403 KachelY + 1 14526 0.57888600 0.34896110 33.167725 19.993998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34914129-0.34896110) × R
    0.000180189999999969 × 6371000     		dl = 1147.9904899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34914129-0.34896110) × R
    0.000180189999999969 × 6371000     		dr = 1147.9904899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(0.34914129) × R
    0.000191750000000046 × 0.939666816248783 × 6371000     		do = 1147.93386465233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(0.34896110) × R
    0.000191750000000046 × 0.939728442376819 × 6371000     		du = 1148.00914954916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34914129)-sin(0.34896110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939666816248783-0.939728442376819)×R²
    abs(0.57888600-0.57869425)×6.16261280366182e-05×R²
    0.000191750000000046×6.16261280366182e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.16261280366182e-05×40589641000000     		ar = 1317860.37650788m²