Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19402 / 14518
↖ ↑ ↗
← N 20.076570°
E 33.156738°		 ← 1 147.41 m → N 20.076570°
E 33.167725°		 →
↑
1 147.42 m
↓
↑
1 147.42 m
↓
N 20.066251°
E 33.156738°		 ← 1 147.48 m →
1 316 597 m²		 N 20.066251°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592117309570312 y=0.443069458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592117309570312 × 215)
    floor (0.592117309570312 × 32768)
    floor (19402.5)     		tx = 19402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443069458007812 × 215)
    floor (0.443069458007812 × 32768)
    floor (14518.5)     		ty = 14518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19402 / 14518 ti = "15/19402/14518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19402/14518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19402 ÷ 215
    19402 ÷ 32768     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14518 ÷ 215
    14518 ÷ 32768     		y = 0.44305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357801018764099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357801018764099))-π/2
    2×atan(1.43018101297954)-π/2
    2×0.960599288808533-π/2
    1.92119857761707-1.57079632675     		φ = 0.35040225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35040225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.076570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19402 KachelY 14518 0.57869425 0.35040225 33.156738 20.076570
    Oben rechts KachelX + 1 19403 KachelY 14518 0.57888600 0.35040225 33.167725 20.076570
    Unten links KachelX 19402 KachelY + 1 14519 0.57869425 0.35022215 33.156738 20.066251
    Unten rechts KachelX + 1 19403 KachelY + 1 14519 0.57888600 0.35022215 33.167725 20.066251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35040225-0.35022215) × R
    0.000180100000000016 × 6371000     		dl = 1147.4171000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35040225-0.35022215) × R
    0.000180100000000016 × 6371000     		dr = 1147.4171000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(0.35040225) × R
    0.000191750000000046 × 0.93923470621042 × 6371000     		do = 1147.40598206914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57888600) × cos(0.35022215) × R
    0.000191750000000046 × 0.939296514920765 × 6371000     		du = 1147.48149001569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35040225)-sin(0.35022215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93923470621042-0.939296514920765)×R²
    abs(0.57888600-0.57869425)×6.18087103448905e-05×R²
    0.000191750000000046×6.18087103448905e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.18087103448905e-05×40589641000000     		ar = 1316596.56758216m²