Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19401 / 14519
↖ ↑ ↗
← N 20.066251°
E 33.145752°		 ← 1 147.48 m → N 20.066251°
E 33.156738°		 →
↑
1 147.48 m
↓
↑
1 147.48 m
↓
N 20.055932°
E 33.145752°		 ← 1 147.56 m →
1 316 756 m²		 N 20.055932°
E 33.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592086791992188 y=0.443099975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592086791992188 × 215)
    floor (0.592086791992188 × 32768)
    floor (19401.5)     		tx = 19401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443099975585938 × 215)
    floor (0.443099975585938 × 32768)
    floor (14519.5)     		ty = 14519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19401 / 14519 ti = "15/19401/14519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19401/14519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19401 ÷ 215
    19401 ÷ 32768     		x = 0.592071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14519 ÷ 215
    14519 ÷ 32768     		y = 0.443084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592071533203125 × 2 - 1) × π
    0.18414306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57850250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443084716796875 × 2 - 1) × π
    0.11383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357609271165619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57850250} λ = 0.57850250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357609271165619))-π/2
    2×atan(1.42990680549506)-π/2
    2×0.960509237845737-π/2
    1.92101847569147-1.57079632675     		φ = 0.35022215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57850250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35022215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.066251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19401 KachelY 14519 0.57850250 0.35022215 33.145752 20.066251
    Oben rechts KachelX + 1 19402 KachelY 14519 0.57869425 0.35022215 33.156738 20.066251
    Unten links KachelX 19401 KachelY + 1 14520 0.57850250 0.35004204 33.145752 20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 19402 KachelY + 1 14520 0.57869425 0.35004204 33.156738 20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35022215-0.35004204) × R
    0.000180110000000011 × 6371000     		dl = 1147.48081000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35022215-0.35004204) × R
    0.000180110000000011 × 6371000     		dr = 1147.48081000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57850250-0.57869425) × cos(0.35022215) × R
    0.000191749999999935 × 0.939296514920765 × 6371000     		do = 1147.48149001503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57850250-0.57869425) × cos(0.35004204) × R
    0.000191749999999935 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 1147.55696493131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35022215)-sin(0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939296514920765-0.939358296593452)×R²
    abs(0.57869425-0.57850250)×6.17816726868892e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17816726868892e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17816726868892e-05×40589641000000     		ar = 1316756.29619088m²