Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19400 / 14520
↖ ↑ ↗
← N 20.055932°
E 33.134766°		 ← 1 147.50 m → N 20.055932°
E 33.145752°		 →
↑
1 147.61 m
↓
↑
1 147.61 m
↓
N 20.045611°
E 33.134766°		 ← 1 147.57 m →
1 316 920 m²		 N 20.045611°
E 33.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592056274414062 y=0.443130493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592056274414062 × 215)
    floor (0.592056274414062 × 32768)
    floor (19400.5)     		tx = 19400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443130493164062 × 215)
    floor (0.443130493164062 × 32768)
    floor (14520.5)     		ty = 14520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19400 / 14520 ti = "15/19400/14520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19400/14520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19400 ÷ 215
    19400 ÷ 32768     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14520 ÷ 215
    14520 ÷ 32768     		y = 0.443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357417523567139))-π/2
    2×atan(1.42963265058417)-π/2
    2×0.960419180958308-π/2
    1.92083836191662-1.57079632675     		φ = 0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19400 KachelY 14520 0.57831076 0.35004204 33.134766 20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 19401 KachelY 14520 0.57850250 0.35004204 33.145752 20.055932
    Unten links KachelX 19400 KachelY + 1 14521 0.57831076 0.34986191 33.134766 20.045611
    Unten rechts KachelX + 1 19401 KachelY + 1 14521 0.57850250 0.34986191 33.145752 20.045611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35004204-0.34986191) × R
    0.000180130000000001 × 6371000     		dl = 1147.60823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35004204-0.34986191) × R
    0.000180130000000001 × 6371000     		dr = 1147.60823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57850250) × cos(0.35004204) × R
    0.000191739999999996 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 1147.4971184146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57850250) × cos(0.34986191) × R
    0.000191739999999996 × 0.939420054649082 × 6371000     		du = 1147.57256054476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35004204)-sin(0.34986191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.939420054649082)×R²
    abs(0.57850250-0.57831076)×6.17580556300235e-05×R²
    0.000191739999999996×6.17580556300235e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.17580556300235e-05×40589641000000     		ar = 1316920.42955943m²