Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1940 / 796
↖ ↑ ↗
← N 73.327858°
W  9.492188°		 ← 2 803.84 m → N 73.327858°
W  9.404297°		 →
↑
2 805.92 m
↓
↑
2 805.92 m
↓
N 73.302624°
W  9.492188°		 ← 2 807.96 m →
7 873 115 m²		 N 73.302624°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4737548828125 y=0.1944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4737548828125 × 212)
    floor (0.4737548828125 × 4096)
    floor (1940.5)     		tx = 1940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1944580078125 × 212)
    floor (0.1944580078125 × 4096)
    floor (796.5)     		ty = 796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1940 / 796 ti = "12/1940/796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1940/796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1940 ÷ 212
    1940 ÷ 4096     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 796 ÷ 212
    796 ÷ 4096     		y = 0.1943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92054394637793))-π/2
    2×atan(6.82466971421174)-π/2
    2×1.42530444201577-π/2
    2.85060888403154-1.57079632675     		φ = 1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1940 KachelY 796 -0.16566993 1.27981256 -9.492188 73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 1941 KachelY 796 -0.16413594 1.27981256 -9.404297 73.327858
    Unten links KachelX 1940 KachelY + 1 797 -0.16566993 1.27937214 -9.492188 73.302624
    Unten rechts KachelX + 1 1941 KachelY + 1 797 -0.16413594 1.27937214 -9.404297 73.302624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27981256-1.27937214) × R
    0.000440420000000108 × 6371000     		dl = 2805.91582000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27981256-1.27937214) × R
    0.000440420000000108 × 6371000     		dr = 2805.91582000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16413594) × cos(1.27981256) × R
    0.00153398999999999 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 2803.83706486411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16413594) × cos(1.27937214) × R
    0.00153398999999999 × 0.287316652917739 × 6371000     		du = 2807.96009811951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27981256)-sin(1.27937214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.287316652917739)×R²
    abs(-0.16413594--0.16566993)×0.00042187783067299×R²
    0.00153398999999999×0.00042187783067299×6371000²
    0.00153398999999999×0.00042187783067299×40589641000000     		ar = 7873115.34638463m²