Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1940 / 2333
↖ ↑ ↗
← S 24.287027°
W  9.492188°		 ← 8 908.10 m → S 24.287027°
W  9.404297°		 →
↑
8 905.26 m
↓
↑
8 905.26 m
↓
S 24.367114°
W  9.492188°		 ← 8 902.47 m →
79 303 875 m²		 S 24.367114°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4737548828125 y=0.5697021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4737548828125 × 212)
    floor (0.4737548828125 × 4096)
    floor (1940.5)     		tx = 1940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5697021484375 × 212)
    floor (0.5697021484375 × 4096)
    floor (2333.5)     		ty = 2333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1940 / 2333 ti = "12/1940/2333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1940/2333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1940 ÷ 212
    1940 ÷ 4096     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2333 ÷ 212
    2333 ÷ 4096     		y = 0.569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.437184524534912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.437184524534912))-π/2
    2×atan(0.645852244829439)-π/2
    2×0.573453871242575-π/2
    1.14690774248515-1.57079632675     		φ = -0.42388858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42388858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.287027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1940 KachelY 2333 -0.16566993 -0.42388858 -9.492188 -24.287027
    Oben rechts KachelX + 1 1941 KachelY 2333 -0.16413594 -0.42388858 -9.404297 -24.287027
    Unten links KachelX 1940 KachelY + 1 2334 -0.16566993 -0.42528636 -9.492188 -24.367114
    Unten rechts KachelX + 1 1941 KachelY + 1 2334 -0.16413594 -0.42528636 -9.404297 -24.367114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42388858--0.42528636) × R
    0.00139777999999996 × 6371000     		dl = 8905.25637999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42388858--0.42528636) × R
    0.00139777999999996 × 6371000     		dr = 8905.25637999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16413594) × cos(-0.42388858) × R
    0.00153398999999999 × 0.911496431740683 × 6371000     		do = 8908.10046655716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16413594) × cos(-0.42528636) × R
    0.00153398999999999 × 0.910920623423066 × 6371000     		du = 8902.47306291169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42388858)-sin(-0.42528636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911496431740683-0.910920623423066)×R²
    abs(-0.16413594--0.16566993)×0.000575808317616833×R²
    0.00153398999999999×0.000575808317616833×6371000²
    0.00153398999999999×0.000575808317616833×40589641000000     		ar = 79303874.6892986m²