Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 194 / 189
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 92.812500°		 ← 66.642 km → S 64.774125°
E 94.218750°		 →
↑
65.907 km
↓
↑
65.907 km
↓
S 65.366837°
E 92.812500°		 ← 65.175 km →
4 343.85 km²		 S 65.366837°
E 94.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759765625 y=0.740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759765625 × 28)
    floor (0.759765625 × 256)
    floor (194.5)     		tx = 194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740234375 × 28)
    floor (0.740234375 × 256)
    floor (189.5)     		ty = 189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 194 / 189 ti = "8/194/189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/194/189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 194 ÷ 28
    194 ÷ 256     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 189 ÷ 28
    189 ÷ 256     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 194 KachelY 189 1.61988371 -1.13052176 92.812500 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 195 KachelY 189 1.64442740 -1.13052176 94.218750 -64.774125
    Unten links KachelX 194 KachelY + 1 190 1.61988371 -1.14086653 92.812500 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 195 KachelY + 1 190 1.64442740 -1.14086653 94.218750 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.14086653) × R
    0.0103447700000001 × 6371000     		dl = 65906.5296700007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.14086653) × R
    0.0103447700000001 × 6371000     		dr = 65906.5296700007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.64442740) × cos(-1.13052176) × R
    0.02454369 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 66642.0795236854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.64442740) × cos(-1.14086653) × R
    0.02454369 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 65175.2123284763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.416806989093035)×R²
    abs(1.64442740-1.61988371)×0.00938087467905807×R²
    0.02454369×0.00938087467905807×6371000²
    0.02454369×0.00938087467905807×40589641000000     		ar = 4343848866.12249m²