Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19399 / 15061
↖ ↑ ↗
← N 14.381476°
E 33.123779°		 ← 1 183.36 m → N 14.381476°
E 33.134766°		 →
↑
1 183.35 m
↓
↑
1 183.35 m
↓
N 14.370834°
E 33.123779°		 ← 1 183.41 m →
1 400 359 m²		 N 14.370834°
E 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592025756835938 y=0.459640502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592025756835938 × 215)
    floor (0.592025756835938 × 32768)
    floor (19399.5)     		tx = 19399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459640502929688 × 215)
    floor (0.459640502929688 × 32768)
    floor (15061.5)     		ty = 15061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19399 / 15061 ti = "15/19399/15061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19399/15061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19399 ÷ 215
    19399 ÷ 32768     		x = 0.592010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15061 ÷ 215
    15061 ÷ 32768     		y = 0.459625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    0.08074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57811901} λ = 0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253682072789337))-π/2
    2×atan(1.28876200661837)-π/2
    2×0.910900219602701-π/2
    1.8218004392054-1.57079632675     		φ = 0.25100411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25100411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.381476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19399 KachelY 15061 0.57811901 0.25100411 33.123779 14.381476
    Oben rechts KachelX + 1 19400 KachelY 15061 0.57831076 0.25100411 33.134766 14.381476
    Unten links KachelX 19399 KachelY + 1 15062 0.57811901 0.25081837 33.123779 14.370834
    Unten rechts KachelX + 1 19400 KachelY + 1 15062 0.57831076 0.25081837 33.134766 14.370834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25100411-0.25081837) × R
    0.00018573999999999 × 6371000     		dl = 1183.34953999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25100411-0.25081837) × R
    0.00018573999999999 × 6371000     		dr = 1183.34953999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57811901-0.57831076) × cos(0.25100411) × R
    0.000191750000000046 × 0.968663512516279 × 6371000     		do = 1183.35736693304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57811901-0.57831076) × cos(0.25081837) × R
    0.000191750000000046 × 0.968709629300533 × 6371000     		du = 1183.41370500676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25100411)-sin(0.25081837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968663512516279-0.968709629300533)×R²
    abs(0.57831076-0.57811901)×4.61167842537025e-05×R²
    0.000191750000000046×4.61167842537025e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.61167842537025e-05×40589641000000     		ar = 1400358.73365855m²