Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19398 / 14530
↖ ↑ ↗
← N 19.952697°
E 33.112793°		 ← 1 148.31 m → N 19.952697°
E 33.123779°		 →
↑
1 148.37 m
↓
↑
1 148.37 m
↓
N 19.942369°
E 33.112793°		 ← 1 148.39 m →
1 318 731 m²		 N 19.942369°
E 33.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591995239257812 y=0.443435668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591995239257812 × 215)
    floor (0.591995239257812 × 32768)
    floor (19398.5)     		tx = 19398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443435668945312 × 215)
    floor (0.443435668945312 × 32768)
    floor (14530.5)     		ty = 14530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19398 / 14530 ti = "15/19398/14530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19398/14530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19398 ÷ 215
    19398 ÷ 32768     		x = 0.59197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14530 ÷ 215
    14530 ÷ 32768     		y = 0.44342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59197998046875 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57792726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44342041015625 × 2 - 1) × π
    0.1131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.355500047582336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57792726} λ = 0.57792726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355500047582336))-π/2
    2×atan(1.42689399080587)-π/2
    2×0.959518286786652-π/2
    1.9190365735733-1.57079632675     		φ = 0.34824025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57792726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.112793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34824025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.952697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19398 KachelY 14530 0.57792726 0.34824025 33.112793 19.952697
    Oben rechts KachelX + 1 19399 KachelY 14530 0.57811901 0.34824025 33.123779 19.952697
    Unten links KachelX 19398 KachelY + 1 14531 0.57792726 0.34806000 33.112793 19.942369
    Unten rechts KachelX + 1 19399 KachelY + 1 14531 0.57811901 0.34806000 33.123779 19.942369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34824025-0.34806000) × R
    0.000180249999999993 × 6371000     		dl = 1148.37274999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34824025-0.34806000) × R
    0.000180249999999993 × 6371000     		dr = 1148.37274999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57792726-0.57811901) × cos(0.34824025) × R
    0.000191749999999935 × 0.939974672465827 × 6371000     		do = 1148.30995388976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57792726-0.57811901) × cos(0.34806000) × R
    0.000191749999999935 × 0.940036166465555 × 6371000     		du = 1148.38507737347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34824025)-sin(0.34806000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939974672465827-0.940036166465555)×R²
    abs(0.57811901-0.57792726)×6.14939997277686e-05×R²
    0.000191749999999935×6.14939997277686e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.14939997277686e-05×40589641000000     		ar = 1318730.99805205m²