Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19397 / 15051
↖ ↑ ↗
← N 14.487872°
E 33.101806°		 ← 1 182.79 m → N 14.487872°
E 33.112793°		 →
↑
1 182.84 m
↓
↑
1 182.84 m
↓
N 14.477234°
E 33.101806°		 ← 1 182.85 m →
1 399 087 m²		 N 14.477234°
E 33.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591964721679688 y=0.459335327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591964721679688 × 215)
    floor (0.591964721679688 × 32768)
    floor (19397.5)     		tx = 19397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459335327148438 × 215)
    floor (0.459335327148438 × 32768)
    floor (15051.5)     		ty = 15051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19397 / 15051 ti = "15/19397/15051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19397/15051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19397 ÷ 215
    19397 ÷ 32768     		x = 0.591949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15051 ÷ 215
    15051 ÷ 32768     		y = 0.459320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591949462890625 × 2 - 1) × π
    0.18389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57773551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459320068359375 × 2 - 1) × π
    0.08135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.255599548774139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57773551} λ = 0.57773551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.255599548774139))-π/2
    2×atan(1.29123554753597)-π/2
    2×0.911828692466507-π/2
    1.82365738493301-1.57079632675     		φ = 0.25286106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57773551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.101806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25286106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.487872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19397 KachelY 15051 0.57773551 0.25286106 33.101806 14.487872
    Oben rechts KachelX + 1 19398 KachelY 15051 0.57792726 0.25286106 33.112793 14.487872
    Unten links KachelX 19397 KachelY + 1 15052 0.57773551 0.25267540 33.101806 14.477234
    Unten rechts KachelX + 1 19398 KachelY + 1 15052 0.57792726 0.25267540 33.112793 14.477234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25286106-0.25267540) × R
    0.000185660000000032 × 6371000     		dl = 1182.8398600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25286106-0.25267540) × R
    0.000185660000000032 × 6371000     		dr = 1182.8398600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57773551-0.57792726) × cos(0.25286106) × R
    0.000191750000000046 × 0.96820061951145 × 6371000     		do = 1182.79187866979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57773551-0.57792726) × cos(0.25267540) × R
    0.000191750000000046 × 0.968247050325962 × 6371000     		du = 1182.8486003752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25286106)-sin(0.25267540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96820061951145-0.968247050325962)×R²
    abs(0.57792726-0.57773551)×4.64308145119441e-05×R²
    0.000191750000000046×4.64308145119441e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.64308145119441e-05×40589641000000     		ar = 1399086.93054085m²