Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19392 / 20927
↖ ↑ ↗
← S 44.582643°
E 33.046875°		 ← 870.05 m → S 44.582643°
E 33.057861°		 →
↑
870.02 m
↓
↑
870.02 m
↓
S 44.590467°
E 33.046875°		 ← 869.94 m →
756 916 m²		 S 44.590467°
E 33.057861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591812133789062 y=0.638656616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591812133789062 × 215)
    floor (0.591812133789062 × 32768)
    floor (19392.5)     		tx = 19392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638656616210938 × 215)
    floor (0.638656616210938 × 32768)
    floor (20927.5)     		ty = 20927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19392 / 20927 ti = "15/19392/20927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19392/20927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19392 ÷ 215
    19392 ÷ 32768     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20927 ÷ 215
    20927 ÷ 32768     		y = 0.638641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.27728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87110933989566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87110933989566))-π/2
    2×atan(0.418487047272632)-π/2
    2×0.396341210185139-π/2
    0.792682420370278-1.57079632675     		φ = -0.77811391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77811391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.582643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19392 KachelY 20927 0.57677678 -0.77811391 33.046875 -44.582643
    Oben rechts KachelX + 1 19393 KachelY 20927 0.57696852 -0.77811391 33.057861 -44.582643
    Unten links KachelX 19392 KachelY + 1 20928 0.57677678 -0.77825047 33.046875 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 19393 KachelY + 1 20928 0.57696852 -0.77825047 33.057861 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77811391--0.77825047) × R
    0.000136560000000063 × 6371000     		dl = 870.023760000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77811391--0.77825047) × R
    0.000136560000000063 × 6371000     		dr = 870.023760000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.57696852) × cos(-0.77811391) × R
    0.000191739999999996 × 0.712238721026996 × 6371000     		do = 870.053400247443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.57696852) × cos(-0.77825047) × R
    0.000191739999999996 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 869.936296105233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77811391)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712238721026996-0.712142857825438)×R²
    abs(0.57696852-0.57677678)×9.58632015585215e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58632015585215e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58632015585215e-05×40589641000000     		ar = 756916.190167686m²