Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19392 / 15040
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 33.046875°		 ← 1 182.10 m → N 14.604847°
E 33.057861°		 →
↑
1 182.20 m
↓
↑
1 182.20 m
↓
N 14.594215°
E 33.046875°		 ← 1 182.16 m →
1 397 520 m²		 N 14.594215°
E 33.057861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591812133789062 y=0.458999633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591812133789062 × 215)
    floor (0.591812133789062 × 32768)
    floor (19392.5)     		tx = 19392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458999633789062 × 215)
    floor (0.458999633789062 × 32768)
    floor (15040.5)     		ty = 15040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19392 / 15040 ti = "15/19392/15040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19392/15040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19392 ÷ 215
    19392 ÷ 32768     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15040 ÷ 215
    15040 ÷ 32768     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19392 KachelY 15040 0.57677678 0.25490267 33.046875 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 19393 KachelY 15040 0.57696852 0.25490267 33.057861 14.604847
    Unten links KachelX 19392 KachelY + 1 15041 0.57677678 0.25471711 33.046875 14.594215
    Unten rechts KachelX + 1 19393 KachelY + 1 15041 0.57696852 0.25471711 33.057861 14.594215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25471711) × R
    0.000185559999999974 × 6371000     		dl = 1182.20275999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25471711) × R
    0.000185559999999974 × 6371000     		dr = 1182.20275999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.57696852) × cos(0.25490267) × R
    0.000191739999999996 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 1182.10379832672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.57696852) × cos(0.25471711) × R
    0.000191739999999996 × 0.967734614671797 × 6371000     		du = 1182.16093449437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25471711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.967734614671797)×R²
    abs(0.57696852-0.57677678)×4.67725210376857e-05×R²
    0.000191739999999996×4.67725210376857e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.67725210376857e-05×40589641000000     		ar = 1397520.15026562m²