Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19391 / 21054
↖ ↑ ↗
← S 45.567910°
E 33.035889°		 ← 855.22 m → S 45.567910°
E 33.046875°		 →
↑
855.12 m
↓
↑
855.12 m
↓
S 45.575600°
E 33.035889°		 ← 855.11 m →
731 266 m²		 S 45.575600°
E 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591781616210938 y=0.642532348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591781616210938 × 215)
    floor (0.591781616210938 × 32768)
    floor (19391.5)     		tx = 19391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642532348632812 × 215)
    floor (0.642532348632812 × 32768)
    floor (21054.5)     		ty = 21054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19391 / 21054 ti = "15/19391/21054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19391/21054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19391 ÷ 215
    19391 ÷ 32768     		x = 0.591766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21054 ÷ 215
    21054 ÷ 32768     		y = 0.64251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591766357421875 × 2 - 1) × π
    0.18353271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57658503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.2850341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.895461284902649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57658503} λ = 0.57658503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895461284902649))-π/2
    2×atan(0.408419157590335)-π/2
    2×0.387743135434785-π/2
    0.77548627086957-1.57079632675     		φ = -0.79531006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57658503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79531006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.567910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19391 KachelY 21054 0.57658503 -0.79531006 33.035889 -45.567910
    Oben rechts KachelX + 1 19392 KachelY 21054 0.57677678 -0.79531006 33.046875 -45.567910
    Unten links KachelX 19391 KachelY + 1 21055 0.57658503 -0.79544428 33.035889 -45.575600
    Unten rechts KachelX + 1 19392 KachelY + 1 21055 0.57677678 -0.79544428 33.046875 -45.575600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79531006--0.79544428) × R
    0.000134219999999963 × 6371000     		dl = 855.115619999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79531006--0.79544428) × R
    0.000134219999999963 × 6371000     		dr = 855.115619999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57658503-0.57677678) × cos(-0.79531006) × R
    0.000191749999999935 × 0.700063391833531 × 6371000     		do = 855.224916951681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57658503-0.57677678) × cos(-0.79544428) × R
    0.000191749999999935 × 0.699967541616318 × 6371000     		du = 855.107822564213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79531006)-sin(-0.79544428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700063391833531-0.699967541616318)×R²
    abs(0.57677678-0.57658503)×9.58502172124787e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58502172124787e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58502172124787e-05×40589641000000     		ar = 731266.121575633m²