Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19390 / 15056
↖ ↑ ↗
← N 14.434680°
E 33.024902°		 ← 1 183.08 m → N 14.434680°
E 33.035889°		 →
↑
1 183.09 m
↓
↑
1 183.09 m
↓
N 14.424041°
E 33.024902°		 ← 1 183.13 m →
1 399 723 m²		 N 14.424041°
E 33.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591751098632812 y=0.459487915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591751098632812 × 215)
    floor (0.591751098632812 × 32768)
    floor (19390.5)     		tx = 19390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459487915039062 × 215)
    floor (0.459487915039062 × 32768)
    floor (15056.5)     		ty = 15056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19390 / 15056 ti = "15/19390/15056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19390/15056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19390 ÷ 215
    19390 ÷ 32768     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15056 ÷ 215
    15056 ÷ 32768     		y = 0.45947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254640810781738))-π/2
    2×atan(1.2899981842078)-π/2
    2×0.911364511508635-π/2
    1.82272902301727-1.57079632675     		φ = 0.25193270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25193270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.434680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19390 KachelY 15056 0.57639328 0.25193270 33.024902 14.434680
    Oben rechts KachelX + 1 19391 KachelY 15056 0.57658503 0.25193270 33.035889 14.434680
    Unten links KachelX 19390 KachelY + 1 15057 0.57639328 0.25174700 33.024902 14.424041
    Unten rechts KachelX + 1 19391 KachelY + 1 15057 0.57658503 0.25174700 33.035889 14.424041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25193270-0.25174700) × R
    0.000185700000000011 × 6371000     		dl = 1183.09470000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25193270-0.25174700) × R
    0.000185700000000011 × 6371000     		dr = 1183.09470000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.25193270) × R
    0.000191750000000046 × 0.968432454773362 × 6371000     		do = 1183.07509772527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.25174700) × R
    0.000191750000000046 × 0.968478728649341 × 6371000     		du = 1183.13162770842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25193270)-sin(0.25174700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968432454773362-0.968478728649341)×R²
    abs(0.57658503-0.57639328)×4.62738759793302e-05×R²
    0.000191750000000046×4.62738759793302e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.62738759793302e-05×40589641000000     		ar = 1399723.32200483m²