Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19390 / 14534
↖ ↑ ↗
← N 19.911383°
E 33.024902°		 ← 1 148.61 m → N 19.911383°
E 33.035889°		 →
↑
1 148.63 m
↓
↑
1 148.63 m
↓
N 19.901054°
E 33.024902°		 ← 1 148.69 m →
1 319 368 m²		 N 19.901054°
E 33.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591751098632812 y=0.443557739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591751098632812 × 215)
    floor (0.591751098632812 × 32768)
    floor (19390.5)     		tx = 19390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443557739257812 × 215)
    floor (0.443557739257812 × 32768)
    floor (14534.5)     		ty = 14534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19390 / 14534 ti = "15/19390/14534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19390/14534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19390 ÷ 215
    19390 ÷ 32768     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14534 ÷ 215
    14534 ÷ 32768     		y = 0.44354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    0.1129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354733057188416))-π/2
    2×atan(1.425799996417)-π/2
    2×0.959157763867349-π/2
    1.9183155277347-1.57079632675     		φ = 0.34751920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34751920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.911383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19390 KachelY 14534 0.57639328 0.34751920 33.024902 19.911383
    Oben rechts KachelX + 1 19391 KachelY 14534 0.57658503 0.34751920 33.035889 19.911383
    Unten links KachelX 19390 KachelY + 1 14535 0.57639328 0.34733891 33.024902 19.901054
    Unten rechts KachelX + 1 19391 KachelY + 1 14535 0.57658503 0.34733891 33.035889 19.901054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34751920-0.34733891) × R
    0.000180289999999972 × 6371000     		dl = 1148.62758999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34751920-0.34733891) × R
    0.000180289999999972 × 6371000     		dr = 1148.62758999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.34751920) × R
    0.000191750000000046 × 0.940220482234068 × 6371000     		do = 1148.61024475134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.34733891) × R
    0.000191750000000046 × 0.940281867661883 × 6371000     		du = 1148.68523559934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34751920)-sin(0.34733891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940220482234068-0.940281867661883)×R²
    abs(0.57658503-0.57639328)×6.13854278154191e-05×R²
    0.000191750000000046×6.13854278154191e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.13854278154191e-05×40589641000000     		ar = 1319368.48912975m²