Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19390 / 14526
↖ ↑ ↗
← N 19.993998°
E 33.024902°		 ← 1 148.01 m → N 19.993998°
E 33.035889°		 →
↑
1 147.99 m
↓
↑
1 147.99 m
↓
N 19.983674°
E 33.024902°		 ← 1 148.08 m →
1 317 947 m²		 N 19.983674°
E 33.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591751098632812 y=0.443313598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591751098632812 × 215)
    floor (0.591751098632812 × 32768)
    floor (19390.5)     		tx = 19390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443313598632812 × 215)
    floor (0.443313598632812 × 32768)
    floor (14526.5)     		ty = 14526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19390 / 14526 ti = "15/19390/14526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19390/14526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19390 ÷ 215
    19390 ÷ 32768     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14526 ÷ 215
    14526 ÷ 32768     		y = 0.44329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44329833984375 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.356267037976257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356267037976257))-π/2
    2×atan(1.42798882459979)-π/2
    2×0.959878715358278-π/2
    1.91975743071656-1.57079632675     		φ = 0.34896110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34896110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.993998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19390 KachelY 14526 0.57639328 0.34896110 33.024902 19.993998
    Oben rechts KachelX + 1 19391 KachelY 14526 0.57658503 0.34896110 33.035889 19.993998
    Unten links KachelX 19390 KachelY + 1 14527 0.57639328 0.34878091 33.024902 19.983674
    Unten rechts KachelX + 1 19391 KachelY + 1 14527 0.57658503 0.34878091 33.035889 19.983674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34896110-0.34878091) × R
    0.000180190000000024 × 6371000     		dl = 1147.99049000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34896110-0.34878091) × R
    0.000180190000000024 × 6371000     		dr = 1147.99049000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.34896110) × R
    0.000191750000000046 × 0.939728442376819 × 6371000     		do = 1148.00914954916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57658503) × cos(0.34878091) × R
    0.000191750000000046 × 0.939790037993343 × 6371000     		du = 1148.08439717193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34896110)-sin(0.34878091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939728442376819-0.939790037993343)×R²
    abs(0.57658503-0.57639328)×6.15956165237463e-05×R²
    0.000191750000000046×6.15956165237463e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.15956165237463e-05×40589641000000     		ar = 1317946.78145932m²