Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1939 / 1076
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W  9.580078°		 ← 4 188.30 m → N 64.623877°
W  9.492188°		 →
↑
4 191.16 m
↓
↑
4 191.16 m
↓
N 64.586185°
W  9.580078°		 ← 4 194.11 m →
17 566 008 m²		 N 64.586185°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4735107421875 y=0.2628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4735107421875 × 212)
    floor (0.4735107421875 × 4096)
    floor (1939.5)     		tx = 1939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2628173828125 × 212)
    floor (0.2628173828125 × 4096)
    floor (1076.5)     		ty = 1076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1939 / 1076 ti = "12/1939/1076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1939/1076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1939 ÷ 212
    1939 ÷ 4096     		x = 0.473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1076 ÷ 212
    1076 ÷ 4096     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.05322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16720391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16720391} λ = -0.16720391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16720391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1939 KachelY 1076 -0.16720391 1.12789943 -9.580078 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 1940 KachelY 1076 -0.16566993 1.12789943 -9.492188 64.623877
    Unten links KachelX 1939 KachelY + 1 1077 -0.16720391 1.12724158 -9.580078 64.586185
    Unten rechts KachelX + 1 1940 KachelY + 1 1077 -0.16566993 1.12724158 -9.492188 64.586185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12724158) × R
    0.000657850000000071 × 6371000     		dl = 4191.16235000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12724158) × R
    0.000657850000000071 × 6371000     		dr = 4191.16235000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16720391--0.16566993) × cos(1.12789943) × R
    0.00153398000000002 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 4188.2978995254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16720391--0.16566993) × cos(1.12724158) × R
    0.00153398000000002 × 0.429152930237076 × 6371000     		du = 4194.10582797467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12724158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.429152930237076)×R²
    abs(-0.16566993--0.16720391)×0.000594283886683256×R²
    0.00153398000000002×0.000594283886683256×6371000²
    0.00153398000000002×0.000594283886683256×40589641000000     		ar = 17566008.0861019m²