Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19389 / 15039
↖ ↑ ↗
← N 14.615478°
E 33.013916°		 ← 1 182.11 m → N 14.615478°
E 33.024902°		 →
↑
1 182.14 m
↓
↑
1 182.14 m
↓
N 14.604847°
E 33.013916°		 ← 1 182.17 m →
1 397 450 m²		 N 14.604847°
E 33.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591720581054688 y=0.458969116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591720581054688 × 215)
    floor (0.591720581054688 × 32768)
    floor (19389.5)     		tx = 19389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458969116210938 × 215)
    floor (0.458969116210938 × 32768)
    floor (15039.5)     		ty = 15039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19389 / 15039 ti = "15/19389/15039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19389/15039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19389 ÷ 215
    19389 ÷ 32768     		x = 0.591705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15039 ÷ 215
    15039 ÷ 32768     		y = 0.458953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591705322265625 × 2 - 1) × π
    0.18341064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57620153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458953857421875 × 2 - 1) × π
    0.08209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.257900519955902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57620153} λ = 0.57620153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257900519955902))-π/2
    2×atan(1.29421006414584)-π/2
    2×0.912942271863583-π/2
    1.82588454372717-1.57079632675     		φ = 0.25508822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57620153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.013916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25508822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.615478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19389 KachelY 15039 0.57620153 0.25508822 33.013916 14.615478
    Oben rechts KachelX + 1 19390 KachelY 15039 0.57639328 0.25508822 33.024902 14.615478
    Unten links KachelX 19389 KachelY + 1 15040 0.57620153 0.25490267 33.013916 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 19390 KachelY + 1 15040 0.57639328 0.25490267 33.024902 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25508822-0.25490267) × R
    0.000185549999999979 × 6371000     		dl = 1182.13904999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25508822-0.25490267) × R
    0.000185549999999979 × 6371000     		dr = 1182.13904999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57620153-0.57639328) × cos(0.25508822) × R
    0.000191750000000046 × 0.967641038833105 × 6371000     		do = 1182.10827294958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57620153-0.57639328) × cos(0.25490267) × R
    0.000191750000000046 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 1182.16544971946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25508822)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967641038833105-0.96768784215076)×R²
    abs(0.57639328-0.57620153)×4.6803317654609e-05×R²
    0.000191750000000046×4.6803317654609e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.6803317654609e-05×40589641000000     		ar = 1397450.15023731m²