Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19388 / 15005
↖ ↑ ↗
← N 14.976627°
E 33.002930°		 ← 1 180.08 m → N 14.976627°
E 33.013916°		 →
↑
1 180.16 m
↓
↑
1 180.16 m
↓
N 14.966013°
E 33.002930°		 ← 1 180.14 m →
1 392 723 m²		 N 14.966013°
E 33.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591690063476562 y=0.457931518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591690063476562 × 215)
    floor (0.591690063476562 × 32768)
    floor (19388.5)     		tx = 19388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457931518554688 × 215)
    floor (0.457931518554688 × 32768)
    floor (15005.5)     		ty = 15005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19388 / 15005 ti = "15/19388/15005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19388/15005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19388 ÷ 215
    19388 ÷ 32768     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15005 ÷ 215
    15005 ÷ 32768     		y = 0.457916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457916259765625 × 2 - 1) × π
    0.08416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.26441993830423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26441993830423))-π/2
    2×atan(1.30267512463758)-π/2
    2×0.916093886350182-π/2
    1.83218777270036-1.57079632675     		φ = 0.26139145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26139145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.976627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19388 KachelY 15005 0.57600979 0.26139145 33.002930 14.976627
    Oben rechts KachelX + 1 19389 KachelY 15005 0.57620153 0.26139145 33.013916 14.976627
    Unten links KachelX 19388 KachelY + 1 15006 0.57600979 0.26120621 33.002930 14.966013
    Unten rechts KachelX + 1 19389 KachelY + 1 15006 0.57620153 0.26120621 33.013916 14.966013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26139145-0.26120621) × R
    0.000185240000000031 × 6371000     		dl = 1180.1640400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26139145-0.26120621) × R
    0.000185240000000031 × 6371000     		dr = 1180.1640400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57620153) × cos(0.26139145) × R
    0.000191739999999996 × 0.966031327986351 × 6371000     		do = 1180.08024114182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57620153) × cos(0.26120621) × R
    0.000191739999999996 × 0.966079182056339 × 6371000     		du = 1180.1386985032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26139145)-sin(0.26120621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966031327986351-0.966079182056339)×R²
    abs(0.57620153-0.57600979)×4.78540699878627e-05×R²
    0.000191739999999996×4.78540699878627e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.78540699878627e-05×40589641000000     		ar = 1392722.76353047m²