Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19388 / 14372
↖ ↑ ↗
← N 21.575719°
E 33.002930°		 ← 1 135.98 m → N 21.575719°
E 33.013916°		 →
↑
1 136.01 m
↓
↑
1 136.01 m
↓
N 21.565502°
E 33.002930°		 ← 1 136.06 m →
1 290 537 m²		 N 21.565502°
E 33.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591690063476562 y=0.438613891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591690063476562 × 215)
    floor (0.591690063476562 × 32768)
    floor (19388.5)     		tx = 19388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438613891601562 × 215)
    floor (0.438613891601562 × 32768)
    floor (14372.5)     		ty = 14372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19388 / 14372 ti = "15/19388/14372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19388/14372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19388 ÷ 215
    19388 ÷ 32768     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14372 ÷ 215
    14372 ÷ 32768     		y = 0.4385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    0.122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385796168142212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385796168142212))-π/2
    2×atan(1.47078484745114)-π/2
    2×0.973681830320459-π/2
    1.94736366064092-1.57079632675     		φ = 0.37656733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37656733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.575719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19388 KachelY 14372 0.57600979 0.37656733 33.002930 21.575719
    Oben rechts KachelX + 1 19389 KachelY 14372 0.57620153 0.37656733 33.013916 21.575719
    Unten links KachelX 19388 KachelY + 1 14373 0.57600979 0.37638902 33.002930 21.565502
    Unten rechts KachelX + 1 19389 KachelY + 1 14373 0.57620153 0.37638902 33.013916 21.565502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37656733-0.37638902) × R
    0.000178309999999959 × 6371000     		dl = 1136.01300999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37656733-0.37638902) × R
    0.000178309999999959 × 6371000     		dr = 1136.01300999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57620153) × cos(0.37656733) × R
    0.000191739999999996 × 0.929932409317731 × 6371000     		do = 1135.98268507578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57620153) × cos(0.37638902) × R
    0.000191739999999996 × 0.929997964557908 × 6371000     		du = 1136.0627657537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37656733)-sin(0.37638902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929932409317731-0.929997964557908)×R²
    abs(0.57620153-0.57600979)×6.55552401768178e-05×R²
    0.000191739999999996×6.55552401768178e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.55552401768178e-05×40589641000000     		ar = 1290536.59914549m²