Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19386 / 14538
↖ ↑ ↗
← N 19.870060°
E 32.980957°		 ← 1 148.91 m → N 19.870060°
E 32.991943°		 →
↑
1 148.95 m
↓
↑
1 148.95 m
↓
N 19.859727°
E 32.980957°		 ← 1 148.98 m →
1 320 079 m²		 N 19.859727°
E 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591629028320312 y=0.443679809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591629028320312 × 215)
    floor (0.591629028320312 × 32768)
    floor (19386.5)     		tx = 19386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443679809570312 × 215)
    floor (0.443679809570312 × 32768)
    floor (14538.5)     		ty = 14538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19386 / 14538 ti = "15/19386/14538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19386/14538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19386 ÷ 215
    19386 ÷ 32768     		x = 0.59161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14538 ÷ 215
    14538 ÷ 32768     		y = 0.44366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    0.1126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.353966066794495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57562629} λ = 0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353966066794495))-π/2
    2×atan(1.42470684078962)-π/2
    2×0.958797146763159-π/2
    1.91759429352632-1.57079632675     		φ = 0.34679797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34679797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.870060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19386 KachelY 14538 0.57562629 0.34679797 32.980957 19.870060
    Oben rechts KachelX + 1 19387 KachelY 14538 0.57581804 0.34679797 32.991943 19.870060
    Unten links KachelX 19386 KachelY + 1 14539 0.57562629 0.34661763 32.980957 19.859727
    Unten rechts KachelX + 1 19387 KachelY + 1 14539 0.57581804 0.34661763 32.991943 19.859727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34679797-0.34661763) × R
    0.000180340000000001 × 6371000     		dl = 1148.94614000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34679797-0.34661763) × R
    0.000180340000000001 × 6371000     		dr = 1148.94614000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57562629-0.57581804) × cos(0.34679797) × R
    0.000191750000000046 × 0.940465864349265 × 6371000     		do = 1148.91001317451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57562629-0.57581804) × cos(0.34661763) × R
    0.000191750000000046 × 0.94052714448567 × 6371000     		du = 1148.98487539439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34679797)-sin(0.34661763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940465864349265-0.94052714448567)×R²
    abs(0.57581804-0.57562629)×6.12801364050508e-05×R²
    0.000191750000000046×6.12801364050508e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.12801364050508e-05×40589641000000     		ar = 1320078.73475106m²