Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19386 / 14527
↖ ↑ ↗
← N 19.983674°
E 32.980957°		 ← 1 148.08 m → N 19.983674°
E 32.991943°		 →
↑
1 148.12 m
↓
↑
1 148.12 m
↓
N 19.973349°
E 32.980957°		 ← 1 148.16 m →
1 318 179 m²		 N 19.973349°
E 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591629028320312 y=0.443344116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591629028320312 × 215)
    floor (0.591629028320312 × 32768)
    floor (19386.5)     		tx = 19386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443344116210938 × 215)
    floor (0.443344116210938 × 32768)
    floor (14527.5)     		ty = 14527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19386 / 14527 ti = "15/19386/14527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19386/14527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19386 ÷ 215
    19386 ÷ 32768     		x = 0.59161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14527 ÷ 215
    14527 ÷ 32768     		y = 0.443328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443328857421875 × 2 - 1) × π
    0.11334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356075290377777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57562629} λ = 0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356075290377777))-π/2
    2×atan(1.42771503742187)-π/2
    2×0.95978861706936-π/2
    1.91957723413872-1.57079632675     		φ = 0.34878091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34878091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.983674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19386 KachelY 14527 0.57562629 0.34878091 32.980957 19.983674
    Oben rechts KachelX + 1 19387 KachelY 14527 0.57581804 0.34878091 32.991943 19.983674
    Unten links KachelX 19386 KachelY + 1 14528 0.57562629 0.34860070 32.980957 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 19387 KachelY + 1 14528 0.57581804 0.34860070 32.991943 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34878091-0.34860070) × R
    0.000180210000000014 × 6371000     		dl = 1148.11791000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34878091-0.34860070) × R
    0.000180210000000014 × 6371000     		dr = 1148.11791000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57562629-0.57581804) × cos(0.34878091) × R
    0.000191750000000046 × 0.939790037993343 × 6371000     		do = 1148.08439717193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57562629-0.57581804) × cos(0.34860070) × R
    0.000191750000000046 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 1148.15961586403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34878091)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939790037993343-0.939851609928014)×R²
    abs(0.57581804-0.57562629)×6.15719346714894e-05×R²
    0.000191750000000046×6.15719346714894e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.15719346714894e-05×40589641000000     		ar = 1318179.44211614m²