Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19385 / 15043
↖ ↑ ↗
← N 14.572951°
E 32.969971°		 ← 1 182.34 m → N 14.572951°
E 32.980957°		 →
↑
1 182.33 m
↓
↑
1 182.33 m
↓
N 14.562318°
E 32.969971°		 ← 1 182.39 m →
1 397 946 m²		 N 14.562318°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591598510742188 y=0.459091186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591598510742188 × 215)
    floor (0.591598510742188 × 32768)
    floor (19385.5)     		tx = 19385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459091186523438 × 215)
    floor (0.459091186523438 × 32768)
    floor (15043.5)     		ty = 15043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19385 / 15043 ti = "15/19385/15043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19385/15043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19385 ÷ 215
    19385 ÷ 32768     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15043 ÷ 215
    15043 ÷ 32768     		y = 0.459075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    0.08184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257133529561981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257133529561981))-π/2
    2×atan(1.29321779803686)-π/2
    2×0.912571150295184-π/2
    1.82514230059037-1.57079632675     		φ = 0.25434597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25434597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.572951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19385 KachelY 15043 0.57543454 0.25434597 32.969971 14.572951
    Oben rechts KachelX + 1 19386 KachelY 15043 0.57562629 0.25434597 32.980957 14.572951
    Unten links KachelX 19385 KachelY + 1 15044 0.57543454 0.25416039 32.969971 14.562318
    Unten rechts KachelX + 1 19386 KachelY + 1 15044 0.57562629 0.25416039 32.980957 14.562318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25434597-0.25416039) × R
    0.000185579999999963 × 6371000     		dl = 1182.33017999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25434597-0.25416039) × R
    0.000185579999999963 × 6371000     		dr = 1182.33017999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57562629) × cos(0.25434597) × R
    0.000191749999999935 × 0.967828064779907 × 6371000     		do = 1182.33675118628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57562629) × cos(0.25416039) × R
    0.000191749999999935 × 0.967874742356578 × 6371000     		du = 1182.39377434603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25434597)-sin(0.25416039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967828064779907-0.967874742356578)×R²
    abs(0.57562629-0.57543454)×4.66775766707617e-05×R²
    0.000191749999999935×4.66775766707617e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.66775766707617e-05×40589641000000     		ar = 1397946.13796412m²