Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19384 / 14552
↖ ↑ ↗
← N 19.725342°
E 32.958985°		 ← 1 149.90 m → N 19.725342°
E 32.969971°		 →
↑
1 149.97 m
↓
↑
1 149.97 m
↓
N 19.715000°
E 32.958985°		 ← 1 149.97 m →
1 322 383 m²		 N 19.715000°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591567993164062 y=0.444107055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591567993164062 × 215)
    floor (0.591567993164062 × 32768)
    floor (19384.5)     		tx = 19384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		ty = 14552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19384 / 14552 ti = "15/19384/14552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19384/14552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19384 ÷ 215
    19384 ÷ 32768     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		y = 0.444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    0.11181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351281600415771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351281600415771))-π/2
    2×atan(1.42088739206052)-π/2
    2×0.957534247548398-π/2
    1.9150684950968-1.57079632675     		φ = 0.34427217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34427217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.725342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19384 KachelY 14552 0.57524280 0.34427217 32.958985 19.725342
    Oben rechts KachelX + 1 19385 KachelY 14552 0.57543454 0.34427217 32.969971 19.725342
    Unten links KachelX 19384 KachelY + 1 14553 0.57524280 0.34409167 32.958985 19.715000
    Unten rechts KachelX + 1 19385 KachelY + 1 14553 0.57543454 0.34409167 32.969971 19.715000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34427217-0.34409167) × R
    0.000180499999999972 × 6371000     		dl = 1149.96549999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34427217-0.34409167) × R
    0.000180499999999972 × 6371000     		dr = 1149.96549999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57543454) × cos(0.34427217) × R
    0.000191739999999996 × 0.94132135301138 × 6371000     		do = 1149.89514011838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57543454) × cos(0.34409167) × R
    0.000191739999999996 × 0.941382258528691 × 6371000     		du = 1149.96954080858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34427217)-sin(0.34409167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94132135301138-0.941382258528691)×R²
    abs(0.57543454-0.57524280)×6.09055173101947e-05×R²
    0.000191739999999996×6.09055173101947e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.09055173101947e-05×40589641000000     		ar = 1322382.52245758m²