Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19384 / 14412
↖ ↑ ↗
← N 21.166484°
E 32.958985°		 ← 1 139.16 m → N 21.166484°
E 32.969971°		 →
↑
1 139.20 m
↓
↑
1 139.20 m
↓
N 21.156239°
E 32.958985°		 ← 1 139.24 m →
1 297 777 m²		 N 21.156239°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591567993164062 y=0.439834594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591567993164062 × 215)
    floor (0.591567993164062 × 32768)
    floor (19384.5)     		tx = 19384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439834594726562 × 215)
    floor (0.439834594726562 × 32768)
    floor (14412.5)     		ty = 14412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19384 / 14412 ti = "15/19384/14412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19384/14412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19384 ÷ 215
    19384 ÷ 32768     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14412 ÷ 215
    14412 ÷ 32768     		y = 0.4398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378126264203003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378126264203003))-π/2
    2×atan(1.45954721980822)-π/2
    2×0.970110580590378-π/2
    1.94022116118076-1.57079632675     		φ = 0.36942483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36942483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.166484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19384 KachelY 14412 0.57524280 0.36942483 32.958985 21.166484
    Oben rechts KachelX + 1 19385 KachelY 14412 0.57543454 0.36942483 32.969971 21.166484
    Unten links KachelX 19384 KachelY + 1 14413 0.57524280 0.36924602 32.958985 21.156239
    Unten rechts KachelX + 1 19385 KachelY + 1 14413 0.57543454 0.36924602 32.969971 21.156239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36942483-0.36924602) × R
    0.000178809999999974 × 6371000     		dl = 1139.19850999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36942483-0.36924602) × R
    0.000178809999999974 × 6371000     		dr = 1139.19850999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57543454) × cos(0.36942483) × R
    0.000191739999999996 × 0.932535181726061 × 6371000     		do = 1139.16216818599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57543454) × cos(0.36924602) × R
    0.000191739999999996 × 0.93259973137616 × 6371000     		du = 1139.24102045966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36942483)-sin(0.36924602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932535181726061-0.93259973137616)×R²
    abs(0.57543454-0.57524280)×6.45496500982778e-05×R²
    0.000191739999999996×6.45496500982778e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.45496500982778e-05×40589641000000     		ar = 1297776.76229999m²