Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19380 / 15037
↖ ↑ ↗
← N 14.636739°
E 32.915039°		 ← 1 181.93 m → N 14.636739°
E 32.926025°		 →
↑
1 181.95 m
↓
↑
1 181.95 m
↓
N 14.626109°
E 32.915039°		 ← 1 181.99 m →
1 397 016 m²		 N 14.626109°
E 32.926025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591445922851562 y=0.458908081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591445922851562 × 215)
    floor (0.591445922851562 × 32768)
    floor (19380.5)     		tx = 19380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458908081054688 × 215)
    floor (0.458908081054688 × 32768)
    floor (15037.5)     		ty = 15037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19380 / 15037 ti = "15/19380/15037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19380/15037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19380 ÷ 215
    19380 ÷ 32768     		x = 0.5914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15037 ÷ 215
    15037 ÷ 32768     		y = 0.458892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458892822265625 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.258284015152863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57447581} λ = 0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258284015152863))-π/2
    2×atan(1.29470648267027)-π/2
    2×0.913127805727878-π/2
    1.82625561145576-1.57079632675     		φ = 0.25545928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25545928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.636739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19380 KachelY 15037 0.57447581 0.25545928 32.915039 14.636739
    Oben rechts KachelX + 1 19381 KachelY 15037 0.57466755 0.25545928 32.926025 14.636739
    Unten links KachelX 19380 KachelY + 1 15038 0.57447581 0.25527376 32.915039 14.626109
    Unten rechts KachelX + 1 19381 KachelY + 1 15038 0.57466755 0.25527376 32.926025 14.626109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25545928-0.25527376) × R
    0.000185519999999995 × 6371000     		dl = 1181.94791999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25545928-0.25527376) × R
    0.000185519999999995 × 6371000     		dr = 1181.94791999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57447581-0.57466755) × cos(0.25545928) × R
    0.000191739999999996 × 0.967547342362835 × 6371000     		do = 1181.93216722242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57447581-0.57466755) × cos(0.25527376) × R
    0.000191739999999996 × 0.967594204725831 × 6371000     		du = 1181.9894131388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25545928)-sin(0.25527376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967547342362835-0.967594204725831)×R²
    abs(0.57466755-0.57447581)×4.6862362996225e-05×R²
    0.000191739999999996×4.6862362996225e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.6862362996225e-05×40589641000000     		ar = 1397016.10148206m²