Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19380 / 14385
↖ ↑ ↗
← N 21.442843°
E 32.915039°		 ← 1 137.02 m → N 21.442843°
E 32.926025°		 →
↑
1 137.10 m
↓
↑
1 137.10 m
↓
N 21.432617°
E 32.915039°		 ← 1 137.10 m →
1 292 948 m²		 N 21.432617°
E 32.926025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591445922851562 y=0.439010620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591445922851562 × 215)
    floor (0.591445922851562 × 32768)
    floor (19380.5)     		tx = 19380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439010620117188 × 215)
    floor (0.439010620117188 × 32768)
    floor (14385.5)     		ty = 14385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19380 / 14385 ti = "15/19380/14385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19380/14385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19380 ÷ 215
    19380 ÷ 32768     		x = 0.5914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14385 ÷ 215
    14385 ÷ 32768     		y = 0.438995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    0.12200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.383303449361969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57447581} λ = 0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383303449361969))-π/2
    2×atan(1.46712316011464)-π/2
    2×0.972522269996848-π/2
    1.9450445399937-1.57079632675     		φ = 0.37424821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37424821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.442843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19380 KachelY 14385 0.57447581 0.37424821 32.915039 21.442843
    Oben rechts KachelX + 1 19381 KachelY 14385 0.57466755 0.37424821 32.926025 21.442843
    Unten links KachelX 19380 KachelY + 1 14386 0.57447581 0.37406973 32.915039 21.432617
    Unten rechts KachelX + 1 19381 KachelY + 1 14386 0.57466755 0.37406973 32.926025 21.432617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37424821-0.37406973) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dl = 1137.09608000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37424821-0.37406973) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dr = 1137.09608000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57447581-0.57466755) × cos(0.37424821) × R
    0.000191739999999996 × 0.930782718955064 × 6371000     		do = 1137.02140253018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57447581-0.57466755) × cos(0.37406973) × R
    0.000191739999999996 × 0.930847951577126 × 6371000     		du = 1137.1010891057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37424821)-sin(0.37406973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930782718955064-0.930847951577126)×R²
    abs(0.57466755-0.57447581)×6.52326220615951e-05×R²
    0.000191739999999996×6.52326220615951e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.52326220615951e-05×40589641000000     		ar = 1292947.8887721m²