Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1938 / 406
↖ ↑ ↗
← N 72.919636°
E160.664062°		 ← 5 740.90 m → N 72.919636°
E160.839844°		 →
↑
5 749.32 m
↓
↑
5 749.32 m
↓
N 72.867931°
E160.664062°		 ← 5 757.76 m →
33 054 732 m²		 N 72.867931°
E160.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946533203125 y=0.198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946533203125 × 211)
    floor (0.946533203125 × 2048)
    floor (1938.5)     		tx = 1938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198486328125 × 211)
    floor (0.198486328125 × 2048)
    floor (406.5)     		ty = 406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1938 / 406 ti = "11/1938/406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1938/406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1938 ÷ 211
    1938 ÷ 2048     		x = 0.9462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 406 ÷ 211
    406 ÷ 2048     		y = 0.1982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9462890625 × 2 - 1) × π
    0.892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80411688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1982421875 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80411688} λ = 2.80411688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89600025377246))-π/2
    2×atan(6.65920597034362)-π/2
    2×1.42174202750574-π/2
    2.84348405501148-1.57079632675     		φ = 1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80411688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1938 KachelY 406 2.80411688 1.27268773 160.664062 72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 1939 KachelY 406 2.80718484 1.27268773 160.839844 72.919636
    Unten links KachelX 1938 KachelY + 1 407 2.80411688 1.27178531 160.664062 72.867931
    Unten rechts KachelX + 1 1939 KachelY + 1 407 2.80718484 1.27178531 160.839844 72.867931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27268773-1.27178531) × R
    0.000902419999999848 × 6371000     		dl = 5749.31781999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27268773-1.27178531) × R
    0.000902419999999848 × 6371000     		dr = 5749.31781999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80411688-2.80718484) × cos(1.27268773) × R
    0.00306796000000009 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 5740.90157991919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80411688-2.80718484) × cos(1.27178531) × R
    0.00306796000000009 × 0.29457525055005 × 6371000     		du = 5757.75994085173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27268773)-sin(1.27178531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.29457525055005)×R²
    abs(2.80718484-2.80411688)×0.000862497906578719×R²
    0.00306796000000009×0.000862497906578719×6371000²
    0.00306796000000009×0.000862497906578719×40589641000000     		ar = 33054732.0369665m²