Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1938 / 2330
↖ ↑ ↗
← S 24.046464°
W  9.667969°		 ← 8 924.84 m → S 24.046464°
W  9.580078°		 →
↑
8 922.08 m
↓
↑
8 922.08 m
↓
S 24.126702°
W  9.667969°		 ← 8 919.26 m →
79 603 204 m²		 S 24.126702°
W  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4732666015625 y=0.5689697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4732666015625 × 212)
    floor (0.4732666015625 × 4096)
    floor (1938.5)     		tx = 1938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5689697265625 × 212)
    floor (0.5689697265625 × 4096)
    floor (2330.5)     		ty = 2330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1938 / 2330 ti = "12/1938/2330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1938/2330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1938 ÷ 212
    1938 ÷ 4096     		x = 0.47314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2330 ÷ 212
    2330 ÷ 4096     		y = 0.56884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.432582582171387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16873789} λ = -0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.432582582171387))-π/2
    2×atan(0.648831269026878)-π/2
    2×0.575553178274861-π/2
    1.15110635654972-1.57079632675     		φ = -0.41968997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41968997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.046464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1938 KachelY 2330 -0.16873789 -0.41968997 -9.667969 -24.046464
    Oben rechts KachelX + 1 1939 KachelY 2330 -0.16720391 -0.41968997 -9.580078 -24.046464
    Unten links KachelX 1938 KachelY + 1 2331 -0.16873789 -0.42109039 -9.667969 -24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 1939 KachelY + 1 2331 -0.16720391 -0.42109039 -9.580078 -24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41968997--0.42109039) × R
    0.00140041999999996 × 6371000     		dl = 8922.07581999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41968997--0.42109039) × R
    0.00140041999999996 × 6371000     		dr = 8922.07581999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16873789--0.16720391) × cos(-0.41968997) × R
    0.00153397999999999 × 0.91321531440113 × 6371000     		do = 8924.84101229267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16873789--0.16720391) × cos(-0.42109039) × R
    0.00153397999999999 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 8919.25541104849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41968997)-sin(-0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91321531440113-0.912643779671347)×R²
    abs(-0.16720391--0.16873789)×0.000571534729783107×R²
    0.00153397999999999×0.000571534729783107×6371000²
    0.00153397999999999×0.000571534729783107×40589641000000     		ar = 79603203.6238781m²