Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19379 / 15033
↖ ↑ ↗
← N 14.679254°
E 32.904053°		 ← 1 181.76 m → N 14.679254°
E 32.915039°		 →
↑
1 181.76 m
↓
↑
1 181.76 m
↓
N 14.668626°
E 32.904053°		 ← 1 181.82 m →
1 396 592 m²		 N 14.668626°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591415405273438 y=0.458786010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591415405273438 × 215)
    floor (0.591415405273438 × 32768)
    floor (19379.5)     		tx = 19379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458786010742188 × 215)
    floor (0.458786010742188 × 32768)
    floor (15033.5)     		ty = 15033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19379 / 15033 ti = "15/19379/15033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19379/15033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19379 ÷ 215
    19379 ÷ 32768     		x = 0.591400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15033 ÷ 215
    15033 ÷ 32768     		y = 0.458770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591400146484375 × 2 - 1) × π
    0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458770751953125 × 2 - 1) × π
    0.08245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.259051005546783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57428406} λ = 0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259051005546783))-π/2
    2×atan(1.29569989102406)-π/2
    2×0.913498819497629-π/2
    1.82699763899526-1.57079632675     		φ = 0.25620131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25620131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.679254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19379 KachelY 15033 0.57428406 0.25620131 32.904053 14.679254
    Oben rechts KachelX + 1 19380 KachelY 15033 0.57447581 0.25620131 32.915039 14.679254
    Unten links KachelX 19379 KachelY + 1 15034 0.57428406 0.25601582 32.904053 14.668626
    Unten rechts KachelX + 1 19380 KachelY + 1 15034 0.57447581 0.25601582 32.915039 14.668626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25620131-0.25601582) × R
    0.00018549000000001 × 6371000     		dl = 1181.75679000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25620131-0.25601582) × R
    0.00018549000000001 × 6371000     		dr = 1181.75679000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57428406-0.57447581) × cos(0.25620131) × R
    0.000191750000000046 × 0.967359572590128 × 6371000     		do = 1181.76442273961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57428406-0.57447581) × cos(0.25601582) × R
    0.000191750000000046 × 0.967406560540517 × 6371000     		du = 1181.82182506408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25620131)-sin(0.25601582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967359572590128-0.967406560540517)×R²
    abs(0.57447581-0.57428406)×4.69879503885995e-05×R²
    0.000191750000000046×4.69879503885995e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.69879503885995e-05×40589641000000     		ar = 1396592.05255074m²