Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19379 / 14243
↖ ↑ ↗
← N 22.887562°
E 32.904053°		 ← 1 125.46 m → N 22.887562°
E 32.915039°		 →
↑
1 125.50 m
↓
↑
1 125.50 m
↓
N 22.877440°
E 32.904053°		 ← 1 125.54 m →
1 266 753 m²		 N 22.877440°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591415405273438 y=0.434677124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591415405273438 × 215)
    floor (0.591415405273438 × 32768)
    floor (19379.5)     		tx = 19379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434677124023438 × 215)
    floor (0.434677124023438 × 32768)
    floor (14243.5)     		ty = 14243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19379 / 14243 ti = "15/19379/14243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19379/14243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19379 ÷ 215
    19379 ÷ 32768     		x = 0.591400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14243 ÷ 215
    14243 ÷ 32768     		y = 0.434661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591400146484375 × 2 - 1) × π
    0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434661865234375 × 2 - 1) × π
    0.13067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.410531608346161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57428406} λ = 0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410531608346161))-π/2
    2×atan(1.50761903498025)-π/2
    2×0.985129822596964-π/2
    1.97025964519393-1.57079632675     		φ = 0.39946332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39946332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.887562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19379 KachelY 14243 0.57428406 0.39946332 32.904053 22.887562
    Oben rechts KachelX + 1 19380 KachelY 14243 0.57447581 0.39946332 32.915039 22.887562
    Unten links KachelX 19379 KachelY + 1 14244 0.57428406 0.39928666 32.904053 22.877440
    Unten rechts KachelX + 1 19380 KachelY + 1 14244 0.57447581 0.39928666 32.915039 22.877440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39946332-0.39928666) × R
    0.000176659999999995 × 6371000     		dl = 1125.50085999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39946332-0.39928666) × R
    0.000176659999999995 × 6371000     		dr = 1125.50085999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57428406-0.57447581) × cos(0.39946332) × R
    0.000191750000000046 × 0.921269854384315 × 6371000     		do = 1125.45941395793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57428406-0.57447581) × cos(0.39928666) × R
    0.000191750000000046 × 0.921338547316873 × 6371000     		du = 1125.54333194055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39946332)-sin(0.39928666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921269854384315-0.921338547316873)×R²
    abs(0.57447581-0.57428406)×6.86929325585117e-05×R²
    0.000191750000000046×6.86929325585117e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.86929325585117e-05×40589641000000     		ar = 1266752.76648016m²