Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19377 / 15035
↖ ↑ ↗
← N 14.657998°
E 32.882080°		 ← 1 181.88 m → N 14.657998°
E 32.893066°		 →
↑
1 181.88 m
↓
↑
1 181.88 m
↓
N 14.647369°
E 32.882080°		 ← 1 181.94 m →
1 396 878 m²		 N 14.647369°
E 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591354370117188 y=0.458847045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591354370117188 × 215)
    floor (0.591354370117188 × 32768)
    floor (19377.5)     		tx = 19377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458847045898438 × 215)
    floor (0.458847045898438 × 32768)
    floor (15035.5)     		ty = 15035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19377 / 15035 ti = "15/19377/15035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19377/15035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19377 ÷ 215
    19377 ÷ 32768     		x = 0.591339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15035 ÷ 215
    15035 ÷ 32768     		y = 0.458831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591339111328125 × 2 - 1) × π
    0.18267822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57390056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458831787109375 × 2 - 1) × π
    0.08233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57390056} λ = 0.57390056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258667510349823))-π/2
    2×atan(1.29520309160534)-π/2
    2×0.913313321613825-π/2
    1.82662664322765-1.57079632675     		φ = 0.25583032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57390056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25583032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.657998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19377 KachelY 15035 0.57390056 0.25583032 32.882080 14.657998
    Oben rechts KachelX + 1 19378 KachelY 15035 0.57409231 0.25583032 32.893066 14.657998
    Unten links KachelX 19377 KachelY + 1 15036 0.57390056 0.25564481 32.882080 14.647369
    Unten rechts KachelX + 1 19378 KachelY + 1 15036 0.57409231 0.25564481 32.893066 14.647369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25583032-0.25564481) × R
    0.00018551 × 6371000     		dl = 1181.88421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25583032-0.25564481) × R
    0.00018551 × 6371000     		dr = 1181.88421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57390056-0.57409231) × cos(0.25583032) × R
    0.000191750000000046 × 0.967453517736281 × 6371000     		do = 1181.8791898175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57390056-0.57409231) × cos(0.25564481) × R
    0.000191750000000046 × 0.96750044417042 × 6371000     		du = 1181.9365169913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25583032)-sin(0.25564481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967453517736281-0.96750044417042)×R²
    abs(0.57409231-0.57390056)×4.69264341399489e-05×R²
    0.000191750000000046×4.69264341399489e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.69264341399489e-05×40589641000000     		ar = 1396878.23361967m²