Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19377 / 14374
↖ ↑ ↗
← N 21.555284°
E 32.882080°		 ← 1 136.20 m → N 21.555284°
E 32.893066°		 →
↑
1 136.20 m
↓
↑
1 136.20 m
↓
N 21.545066°
E 32.882080°		 ← 1 136.28 m →
1 291 003 m²		 N 21.545066°
E 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591354370117188 y=0.438674926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591354370117188 × 215)
    floor (0.591354370117188 × 32768)
    floor (19377.5)     		tx = 19377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438674926757812 × 215)
    floor (0.438674926757812 × 32768)
    floor (14374.5)     		ty = 14374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19377 / 14374 ti = "15/19377/14374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19377/14374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19377 ÷ 215
    19377 ÷ 32768     		x = 0.591339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14374 ÷ 215
    14374 ÷ 32768     		y = 0.43865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591339111328125 × 2 - 1) × π
    0.18267822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57390056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43865966796875 × 2 - 1) × π
    0.1226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385412672945251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57390056} λ = 0.57390056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385412672945251))-π/2
    2×atan(1.47022091666567)-π/2
    2×0.973503505444627-π/2
    1.94700701088925-1.57079632675     		φ = 0.37621068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57390056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37621068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.555284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19377 KachelY 14374 0.57390056 0.37621068 32.882080 21.555284
    Oben rechts KachelX + 1 19378 KachelY 14374 0.57409231 0.37621068 32.893066 21.555284
    Unten links KachelX 19377 KachelY + 1 14375 0.57390056 0.37603234 32.882080 21.545066
    Unten rechts KachelX + 1 19378 KachelY + 1 14375 0.57409231 0.37603234 32.893066 21.545066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37621068-0.37603234) × R
    0.000178339999999999 × 6371000     		dl = 1136.20413999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37621068-0.37603234) × R
    0.000178339999999999 × 6371000     		dr = 1136.20413999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57390056-0.57409231) × cos(0.37621068) × R
    0.000191750000000046 × 0.93006350125127 × 6371000     		do = 1136.20207812125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57390056-0.57409231) × cos(0.37603234) × R
    0.000191750000000046 × 0.930129008363818 × 6371000     		du = 1136.28210418109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37621068)-sin(0.37603234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93006350125127-0.930129008363818)×R²
    abs(0.57409231-0.57390056)×6.55071125478246e-05×R²
    0.000191750000000046×6.55071125478246e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.55071125478246e-05×40589641000000     		ar = 1291002.97142954m²