Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19376 / 15092
↖ ↑ ↗
← N 14.051331°
E 32.871093°		 ← 1 185.09 m → N 14.051331°
E 32.882080°		 →
↑
1 185.13 m
↓
↑
1 185.13 m
↓
N 14.040673°
E 32.871093°		 ← 1 185.14 m →
1 404 518 m²		 N 14.040673°
E 32.882080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591323852539062 y=0.460586547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591323852539062 × 215)
    floor (0.591323852539062 × 32768)
    floor (19376.5)     		tx = 19376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460586547851562 × 215)
    floor (0.460586547851562 × 32768)
    floor (15092.5)     		ty = 15092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19376 / 15092 ti = "15/19376/15092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19376/15092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19376 ÷ 215
    19376 ÷ 32768     		x = 0.59130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15092 ÷ 215
    15092 ÷ 32768     		y = 0.4605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59130859375 × 2 - 1) × π
    0.1826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57370881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    0.078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.24773789723645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57370881} λ = 0.57370881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24773789723645))-π/2
    2×atan(1.28112410201735)-π/2
    2×0.908019156274561-π/2
    1.81603831254912-1.57079632675     		φ = 0.24524199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57370881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.871093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24524199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.051331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19376 KachelY 15092 0.57370881 0.24524199 32.871093 14.051331
    Oben rechts KachelX + 1 19377 KachelY 15092 0.57390056 0.24524199 32.882080 14.051331
    Unten links KachelX 19376 KachelY + 1 15093 0.57370881 0.24505597 32.871093 14.040673
    Unten rechts KachelX + 1 19377 KachelY + 1 15093 0.57390056 0.24505597 32.882080 14.040673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24524199-0.24505597) × R
    0.000186019999999981 × 6371000     		dl = 1185.13341999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24524199-0.24505597) × R
    0.000186019999999981 × 6371000     		dr = 1185.13341999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57370881-0.57390056) × cos(0.24524199) × R
    0.000191750000000046 × 0.970078600362959 × 6371000     		do = 1185.08609378874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57370881-0.57390056) × cos(0.24505597) × R
    0.000191750000000046 × 0.970123747575598 × 6371000     		du = 1185.14124739573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24524199)-sin(0.24505597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970078600362959-0.970123747575598)×R²
    abs(0.57390056-0.57370881)×4.51472126388186e-05×R²
    0.000191750000000046×4.51472126388186e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.51472126388186e-05×40589641000000     		ar = 1404517.82156772m²