Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19375 / 14391
↖ ↑ ↗
← N 21.381475°
E 32.860108°		 ← 1 137.50 m → N 21.381475°
E 32.871093°		 →
↑
1 137.61 m
↓
↑
1 137.61 m
↓
N 21.371244°
E 32.860108°		 ← 1 137.58 m →
1 294 071 m²		 N 21.371244°
E 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591293334960938 y=0.439193725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591293334960938 × 215)
    floor (0.591293334960938 × 32768)
    floor (19375.5)     		tx = 19375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439193725585938 × 215)
    floor (0.439193725585938 × 32768)
    floor (14391.5)     		ty = 14391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19375 / 14391 ti = "15/19375/14391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19375/14391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19375 ÷ 215
    19375 ÷ 32768     		x = 0.591278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14391 ÷ 215
    14391 ÷ 32768     		y = 0.439178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591278076171875 × 2 - 1) × π
    0.18255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57351707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382152963771088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57351707} λ = 0.57351707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382152963771088))-π/2
    2×atan(1.46543622664127)-π/2
    2×0.971986731434478-π/2
    1.94397346286896-1.57079632675     		φ = 0.37317714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57351707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.860108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37317714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.381475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19375 KachelY 14391 0.57351707 0.37317714 32.860108 21.381475
    Oben rechts KachelX + 1 19376 KachelY 14391 0.57370881 0.37317714 32.871093 21.381475
    Unten links KachelX 19375 KachelY + 1 14392 0.57351707 0.37299858 32.860108 21.371244
    Unten rechts KachelX + 1 19376 KachelY + 1 14392 0.57370881 0.37299858 32.871093 21.371244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37317714-0.37299858) × R
    0.000178559999999994 × 6371000     		dl = 1137.60575999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37317714-0.37299858) × R
    0.000178559999999994 × 6371000     		dr = 1137.60575999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57351707-0.57370881) × cos(0.37317714) × R
    0.000191739999999996 × 0.931173739131351 × 6371000     		do = 1137.49906321317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57351707-0.57370881) × cos(0.37299858) × R
    0.000191739999999996 × 0.931238822929872 × 6371000     		du = 1137.5785679895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37317714)-sin(0.37299858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931173739131351-0.931238822929872)×R²
    abs(0.57370881-0.57351707)×6.50837985211039e-05×R²
    0.000191739999999996×6.50837985211039e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.50837985211039e-05×40589641000000     		ar = 1294070.71228962m²