Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19374 / 15088
↖ ↑ ↗
← N 14.093957°
E 32.849121°		 ← 1 184.87 m → N 14.093957°
E 32.860108°		 →
↑
1 184.88 m
↓
↑
1 184.88 m
↓
N 14.083301°
E 32.849121°		 ← 1 184.92 m →
1 403 954 m²		 N 14.083301°
E 32.860108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591262817382812 y=0.460464477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591262817382812 × 215)
    floor (0.591262817382812 × 32768)
    floor (19374.5)     		tx = 19374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460464477539062 × 215)
    floor (0.460464477539062 × 32768)
    floor (15088.5)     		ty = 15088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19374 / 15088 ti = "15/19374/15088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19374/15088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19374 ÷ 215
    19374 ÷ 32768     		x = 0.59124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15088 ÷ 215
    15088 ÷ 32768     		y = 0.46044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59124755859375 × 2 - 1) × π
    0.1824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57332532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57332532} λ = 0.57332532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248504887630371))-π/2
    2×atan(1.28210708881954)-π/2
    2×0.908391142088169-π/2
    1.81678228417634-1.57079632675     		φ = 0.24598596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57332532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.849121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24598596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.093957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19374 KachelY 15088 0.57332532 0.24598596 32.849121 14.093957
    Oben rechts KachelX + 1 19375 KachelY 15088 0.57351707 0.24598596 32.860108 14.093957
    Unten links KachelX 19374 KachelY + 1 15089 0.57332532 0.24579998 32.849121 14.083301
    Unten rechts KachelX + 1 19375 KachelY + 1 15089 0.57351707 0.24579998 32.860108 14.083301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24598596-0.24579998) × R
    0.000185980000000002 × 6371000     		dl = 1184.87858000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24598596-0.24579998) × R
    0.000185980000000002 × 6371000     		dr = 1184.87858000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57332532-0.57351707) × cos(0.24598596) × R
    0.000191749999999935 × 0.96989770263388 × 6371000     		do = 1184.86510202197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57332532-0.57351707) × cos(0.24579998) × R
    0.000191749999999935 × 0.969942974356222 × 6371000     		du = 1184.9204077349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24598596)-sin(0.24579998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96989770263388-0.969942974356222)×R²
    abs(0.57351707-0.57332532)×4.52717223419219e-05×R²
    0.000191749999999935×4.52717223419219e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.52717223419219e-05×40589641000000     		ar = 1403954.04889926m²